Cas des colrbes algébriques. — Si l'équation
est algébrique, on peut l'ordonner par rapport aux puissances ascendantes de -
/•pN+^/;(^')+-+^A'(-^0 = o;
sous cette forme, on voit que les valeurs finies de x qui rendent y infinie sont racines de l'équation
fp (^) = o.
Soit a une racine de cette équation ; la droite
"sera une asymptote ])arallèle à 0/y.
Ordonnons maintenant l'équation (1) en groupes homo-
gènes de degrés décroissants
cp,„ {x, y) + cp,„., («:,//)-)-... + cpy (a-, //) =: 0 (27)
<L>p(x, y) désignant un polynôme homogène de degré p. En divisant par .27™, cette équation devient
et les valeurs finies de -' qui correspondent à .1 infinie, seront
les racines de
Soit c une racine de cette équation ; il reste à trouver la limite de // — ex. Pour cela, on posera
y — CiZ' = 0,-
Portant cette valeur dans (28) et ordonnant par rapport aux
puissances ascendantes de -' on trouve
a,,„,(i,c)+ûcp/„(i,c)+- o,„..2(i,c)+o'^,;,^,(i,cj+— cp;;,(d,c) +...=o,
f (^t les valeurs finies de d, qui correspondent à x infinie, seront obtenues en égalant à zéro le premier des coefficients de cette
équation en -■, qui ne s'annule pas. Dans le cas général, on
aura donc, en appelant d la limite de 0,
.*:502. Théorème. — Lorsque la tangente au point qui s éloigne à F infini tend vers une position déterminée^ cette position est Fasymptote.
En effet l'équation de la tangente est
Supposons que le point Xq^ y^, s'éloigne à l'infini et que
-f^' ait une limite c ; on a vu n" 193 que "^ a alors la môme
limite. Donc la direction limite de la tangente est celle de l'asymptote; quant à son ordonnée à l'origine
elle peut s'écrire, en désignant les dérivées par des lettres accentuées
i/o — -^^0^0 l ^ Ih
et, si elle a une limite, en vertu du même théorème, l'expression
aura aussi la même limite, qui est bien l'ordonnée à l'origine de l'asymptote.
303. Il importe de montrer qu'il peut y avoir des asymptotes qui ne sont pas limites de tangentes. L'exemple de la
courbe 1/ = est classique. Pour ^' = 00 , le sinus oscille
entre — 1 et + 1, tandis que le dénominateur croît à l'infini ;
y tend donc vers zéro, et l'axe des x est une asymptote vers laquelle tend la courbe en la traversant par des sinuosités de moins en moins amples. Le coefficient angulaire de la tangente
dy X ces g' — sin g:* cos.r 'sXwx
dx x'^ X x'^
tend vers zéro ; mais l'ordonnée à l'origine
dii , 2 sina;
Il — X -r- = — COS£C 4-
"^ dx ' X
est indéterminée.
:304. Emploi des cooRDON^ÉES homogènes. — Plusieurs des résultats précédents se présentent très simplement lorsqu'on emploie les coordonnées homogènes. Nous nous bornerons au cas des courbes algébriques. Dans ce cas, l'équation (27) devient, après substitution des coordonnées homogènes,
cp„, (X, Y) -f Z'^,„, (X, Y) + ZV-2 (X, Y) + ••• = 0.
Les points à l'infmi étant caractérisés par un Z nul, le rapport de leurs deux autres coordonnées sera donné par l'équation
cp,„(X, Y) = o. (29)
Cette équation s'écrit en mettant en évidence les facteursX , Y
X«YPcp,„,(X, Y) = o,
ce qui impose a facteurs X nuls (Y est alors différent de Kéro) et |3 facteurs Y nuls (X est alors difterent de zéro). On obtient ainsi a points à l'infini dans une direction parallèle à OY et (i points à l'infini sur des parallèles à OX. Il reste m — a — 3 directions asymptotiques non parallèles aux axes dont les coefficients angulaires sont les racines de
l'équation
Pour avoir les asymptotes correspondantes, nous les considérerons comme limites de tangentes, ce qui est toujours permis dans les courbes algébriques. La tangente en un point ayant pour équation (14)
XFx„ + YP;, + ZF4 = 0,
comme on a ici
Fz = ?'«-! -h 27. '^,n-i -\- •••,
l'asymptote qui correspond à Z,, =: o et qui a pour coeffî-
cient angulaire c = ^' aura pour équation
C'est, sous une autre forme, le résultat déjà obtenu; car si l'on fait Xq = 1, Yq = c, l'ordonnée à l'origine de la droite précédente prend précisément la valeur donnée page 299. Quant au coefficient angulaire
Ch,„ (Xq, Yq)
d'^,n (Xq, Yq)
dX,
il est égal à tt*? en vertu de l'égalité d'Euler relative aux
Xq
fonctions homogènes
-^0 ^ + ï 0 ^ = '^^'f /« (^01 1 OJ = 0.
Si l'équation (30) prenait une forme illusoire, le point à l'infini serait singulier, et on lèverait l'indétermination en employant une méthode calquée sur celle de la page 292.
305. Les résultats, rappelés au paragraphe précédent, sont susceptibles d'un énoncé absolument géométrique, si l'on convient de dire que Z = o caractérise la droite à r infini. Alors nous venons d'étudier simplement la nature des points de rencontre d'une courbe avec la droite à l'infmi et les tangentes en ces points. Ce nouveau point de vue permettra d'assimiler les points à l'infini aux points situés à distance finie, et ces points pourront être classés, comme nous allons le faire pour les autres, en points ordinaires, points d'inflexion, doubles, triples, de rebroussement, etc.
306. On peut aussi démontrer que les formules, utilisées plus haut, aux notations près
reviennent à une simple mise en perspective de la courbe.
FiG. 9.
Soit on effet 0 le point de vue projeté sur un plan horizon-
tal en o et sur le tableau en o', de manière que
oco = a, o'm = h ;
m un point du plan horizontal projeté à partir de 0 en m . Les axes étant indiqués sur la figure, on aura
OJi
jpm
Oui
op
ou 11 = a —
ou II — h — ,•
D'où, en multipliant,
XX =^ ah.
Pour « = ô = 1, on retombe bien sur les formules mises au début de ce paragraphe. Ainsi à un point m correspond un seul point m, et réciproquement ; mais, si m s'éloigne à
l'infini dans une direction telle que lim-==c, m tend vers
un point situé sur o'y\ qui a pour ordonnée c, et, comme on vérifie sans peine qu'à la tangente d'équation
dx ' '^ dx
correspond la tangente d'équation
dx ' dx"
il en résulte que l'étude du point à l'infini et de l'asymptote ou des asymptotes est encore, par cette transformation, ramenée à l'étude d'un point situé à distance finie, les singularités se correspondant.
lj]tude d'une courbe autour d'un point singulier
307. Nous avons donné (n"' 295 et 296) les conditions analytiques pour qu'un point soit singulier. Voici quelques considérations géométriques qui feront mieux comprendre les définitions données plus haut.
Si toute sécante, qui passe à une distance infiniment petite d'un point M, rencontre la courbe en des points dont un seul soit infiaiment voisin de M, le point M est simple. Si la sécante coupe la courbe en des points dont p soient infiniment voisins de M, le point est multiple cVordre p. Dans ce cas, une sécante passant au point M coupe la courbe en p points, dont les coordonnées coïncident avec celles du point M; c'est ce que nous avons exprimé plus haut en disant que la sécante avait yj points confondus avec le point M (Voir aussi le théorème énoncé à la fin du n° 309).
Les dispositions de figures ci-dessous ont reçu les noms suivants
Point triple.
M Point d arrêt
Point double.
Point de rebroussement deuxième espèce.
FiG. 10.
CALCUL [XFINITKSIMAL.
Point de rebroussement de première espèce.
Point saillant.
En général, en un point multiple d'ordre p se croisent p branches de courbe; mais plusieurs de ces branches ou même toutes peuvent être imaginaires. L'apparence géométrique ne correspond plus alors au fait analytique; mais, dans la pratique, cela ne peut introduire de confusion. Lorsque toutes les branches, qui passent en un point réel de la courbe, sont imaginaires, le point est dit isolé ; on emploie aussi les locutions point double imaginaire, point multiple imaginaire.
Afin de ne pas avoir à revenir sur les points singuliers autres que les points multiples, je traiterai immédiatement
trois exemples :
1° La courbe y = e'' a un point d'arrêt à l'origine; car, pour X infiniment petit négatif, l'ordonnée // est nulle, tandis que, pour x infiniment petit positif, y est infini. On peut donc dire que la courbe a un point d'arrêt à l'origine pour sa branche qui vient de gauche, et même un point d'arrêt à l'inlini, dans la direction de oy, pour sa branche
FiG. ii.
de droite; mais cette dernière désignation a quelque chose de forcé et est peu employée. On emploie plus souvent les mots de point multiple à l'infini, point de rebroussement à l'infini; ces expressions correspondent aux dispositions que présentent les points de même nom, à distance finie, lorsqu'on fait une perspective de la courbe sur un plan parallèle au rayon qui va de l'œil au point M. Au fond, ce sont de pures désignations analytiques.
2° La courbe qui a pour équation
présente un point saillant à l'origine. Le coefficient angulaire de la tangente en 0,
a pour valeur zéro, si x = -\- zéro, et -(- 1 si .2- = — zéro.
Fid. 12.
Los exemples que nous venons de donner se rapportent à des courbes transcendantes.
Les courbes algébriques ne présentent ni point d'arrêt ni point saillant. — Elles n'ont pas de points d'arrêt parce que l'ordonnée est une fonction continue de l'abscisse ; elles n'ont pas de points saillants puisque, si l'on élimine // entre l'équation de la courbe et l'équation
fx + y' ri, = 0,
(|iii fait connaîlr(; le coefficient angulaire y' de la tangente, on obtient une équaliou algébri([ne entre x et //', d'où il résulte que ce coeflicient angulaire est une fonction continue de l'abscisse.
3° Considérons enfin la courbe représentée par l'équation
y = \Ji — ,;/■-',
le radical ayant sa valeur arithmétique. C'est une demicirconférence dont le centre est à l'origine et dont le diamètre limite est sur o.r; les extrémités de ce diamètre pourraient être prises comme points d'arrêt de la courbe. Mais, en réalité, nous n'avons là qu'une portion de la circonférence
et si, pour l'aspect géométrique, on a des points d'arrêt, ces points sont évidemment d'une nature tout autre que ceux considérés dans les deux premiers exemples. Dans le premier exemple, la fonction y éprouvait une véritable discontinuité; il en est de même pour la dérivée dans le second exemple.
Dans tout ce qui suivra, nous ne considérerons désormais que des fonctions continues, ou au moins nous ne considérerons les fonctions que dans les intervalles où elles sont continues; plus exactement nous supposerons toujours que ces fonctions peuvent être développées en série, dans ces intervalles, par la formule de Taylor.
308. D'après nos définitions, un point singulier est un point où la tangente n'a pas une équation unique et bien déterminée. Il est essentiel d'ajouter que cette définition suppose essentiellement les coordonnées rectilignes. Deux exemples feront mieux comprendre notre pensée. 1° La courbe
1 -[- 2 ces co ^ ^ 1 — 2 sin 0)
orésente un point double. Mais ce point s'obtient par deux valeurs dilférentes de o), savoir
co = — et 03 = — •-
chacune de ces valeurs donne, comme l'on sait, une forme bien déterminée pour l'équation de la tangente. Si l'on cherchait l'équation de cette courbe en coordonnées rectilignes, les deux points, provenant de ces valeurs de o), seraient confondus, et pour ce point l'on aurait
2° Le même incident se présente avec la courbe déterminée par les deux équations
1 + ' f Si l'on donne à t les deux valeurs
les deux coordonnées du point M prennent les valeurs
Lorsque / varie de — oo à + co , la courbe passe donc deux fois au point dont les coordonnées viennent d'être données; mais les valeurs de dx et de dy sont parfaitement déterminées pour t' et pour t" ; les deux tangentes au point double sont donc bien déterminées et indépendamment l'une (le l'autre. Formons, au contraire, l'équation en coordonnées rectilignes de la courbe, par l'élimination de Centre les équations (31); on trouve
r[x, y) = xhf + 2^ [y -f- 2j - [y -\- ^f = o,
et au point ,
310 CHAPITRE XYI
on a évidemment
En coordonnées rectilignes, l'équation ordinaire de la tangente est indéterminée .
C'est im des problèmes les plus intéressants et les plus importants de l'analyse que celui qui consiste à séparer les branches qui se croisent aux points multiples, on encore à ramener l'étude des fonctions à singularités à celle des fonctions sans singularités. Cette étude se rattache à une notion nouvelle relative aux courbes, celle du genre, dont nous parlerons plus loin.
Le problème que nous traitons ici est plus simple; nous voulions seulement faire observer que la difficulté que nous avions à lever peut souvent tenir au choix des coordonnées et ne pas être inhérente au problème de géométrie, auquel le calcul a été appliqué.
309. Une dernière remarque préliminaire sera utile. Nous avons déjà vu que l'étude des branches infinies se ramène à la recherche des solutions infiniment petites d'une certaine équation (26). 11 en est de même pour les branches des courbes qui passent en un point singulier. L'équation (19) fait connaître les valeurs de h, qui correspondent à chaque valeur de a, et le problème qui se pose est de savoir si, pour des valeurs de a infiniment voisines des racines de l'équation (20), il existe des valeurs infiniment petites de h, et quelle est la nature de ces valeurs. Soit a, une racine de l'équation (20) ; si l'on pose
on obtient une équation entre s et h, dont il faut, comme pour l'équation (26), trouver les solutions infiniment petites. La méthode que nous allons employer est donc absolument générale et s'applique toutes les fois qu'on a à chercher les solutions infiniment petites d'une équation de la
COURBES planp:s 311
forme
SAap.r«V? = o,
où le premier membre désigne une série convergente, sans terme constant, ordonnée suivant les puissances ascendantes des variables. On suppose, de plus, qu'il y a toujours un terme indépendant de x et un terme indépendant dey; sans quoi y ou x serait en facteur et devrait être supprimé. La méthode est fondée sur ce principe que l'égalité ne peut s'établir qu'entre infiniment petits de même ordre; il s'ensuit évidemment qu'il y aura toujours deux termes, au moins, de chaque ordre, et en particulier de l'ordre moindre. En écrivant cela, et en prenant ij comme infiniment petit principal, on obtiendra les valeurs principales de l'infiniment petit x\ mais, comme plusieurs racines différentes x , x\ x"\ peuvent avoir la même valeur principale Xj, il faudra poser de nouveau
Ti étant un nouvel infiniment petit, dont la valeur principale se déterminera comme ci-dessus.
Nous admettrons comme démontré le théorème suivant : Soit l'équation
SAafiO^^yP = O,
doat le premier membre de la quelle S est une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes des variables; si, pour x= o, cette équation admet p racines nulles en y, pour x infiniment petit, l'équation admettra p racines infiniment petites en y, développables en séries convergentes suivant les puissances ascendantes de x.
IMO. Pour plus de clarté, je resterai dans les termes du problème posé, n° 296, en simplifiant seulement les notations. Supposons d'abord les axes transportés parallèlement à eux-mêmes, de manière que l'origine se trouve au point .Tq, y^^, ce qui revient à supposer
L'équation (17) représente maintenant une droite passant par l'origine
y = Xa,', (32)
et l'équation (19) aux abscisses de ses points de rencontre avec la courbe pourra s'écrire
cp (X) + a-J. (X) + ^V. W + ••• = 0. (33)
A étant donnée, à une valeur de x correspondra par l'équation (32), une seule valeur de y, donc un seul point de rencontre et le nombre des racines réelles de l'équation (33) sera le nombre exact des points réels communs à la sécante et à la courbe.
L'équation (20), aux coefficients angulaires des tangentes, s'écrit ici
cp(X) = o; (34)
elle est, par bypoihèse, de degré j>, et l'étude qui nous reste à faire est différente, suivant qu'il s'agit de racines simples ou multiples de ®(a)-
311. 1° Soit A] une racine réelle simple de cette équation correspondant à la tangente OT; cette racine peut aussi annuler un certain nombre de coefficients des puissances de X ; soit x'^g (a) le premier des coefficients qui ne s'annule pas, et soit enfin
X, = e, 0 (Xj = eo., (X),
£ désignant un infiniment petit, et 9i(a) ne s'annulant pas pour A = A|. L'équation (33), réduite à ses termes d'ordre moindre, s'écrira
en eflet tous les termes négligés contiennent soit des puissances de x ou de £ supérieures à celles conservées, soit des produits de puissances moindres de x^ par des termes qui
contiennent s en facteur. C'est celte équation qui fait connaître les points de rencontre de la courbe et de la sécante y =" Oh + ') -^i infiniment voisine de OT. Deux cas sont à distinguer : si a est impair, Téquation (35) fait connaître, pour toute valeur de s, une seule valeur réelle de x, et cette valeur change de signe avec s, c'est-à-dire lorsque la sécante passe d'un côté à l'autre de la tangente. Si, par exemple, 9i (X|) et g (aj) sont de signes contraires, s et x sont de mêmes signes, et l'on a la disposition de figure ci-dessous
FiG. 13.
Si cpj (aj) et g (ai) sont de mêmes signes, la courbe est audessous de sa tangente.
FiG. 14.
Soit maintenant oc pair. Pour que l'équation (35) donne des racines réelles, il faut que c9i(ai) et (/(aj) soient de signes contraires, ce qui ne pourra arriver que pour un des deux signes possibles de s. Si c'est pour t positif, les sécantes qui, à droite de l'origine, sont au-dessus de la tangente, couperont la courbe en deux points situés de part et d'autre de l'origine, et la brancho de courbe présentera la disposi-
:ii4
tion suivante
FiG. 15.
Si les deux valeurs réelles de x correspondent à z négatif, la branciie de courbe se présente comme ci-dessous.
Fa;. 16.
Lorsqu'on obtient cette disposition de figure et que la branche de courbe MjOMo est la seule réelle passant en 0, on dit que le point 0 est un jjoint d'inflexion. La courbe traverse sa tangente ; trois points d'intersections de la sécante MoOM^ avec la courbe sont confondus en un seul 0. Ce point peut d'ailleurs être simple ou multiple.
312. 2° Soit maintenant /w une racine double de l'équation (34). Nous poserons encore
cp [1] = £2(p2 a),
çoCa) n'étant pas divisible par \ — \., = s. Ici l'équation qu'on obtient en prenant dans (33) les termes de degrés moindres est un peu plus compliquée que (35), parce qu'on ignore de quel ordre est x par rapport à s; il faut donc
conserver, outre les termes conservés dans (35), le terme de degré moindre qui contient s multiplié par une puissance de X. L'équation aux valeurs principales des infiniment petits sera donc
^\i (X2) + x'^^ ^[\) -f ■xHj[\.^ = G, (36)
et nécessairement l'on a
sans quoi le terme du milieu n'aurait pas été conservé.
Les termes de l'équation (36) sont infiniment grands, par rapport à ceux de l'équation (33) que nous avons négligés ; mais rien ne prouve qu'ils soient tous les trois d'un même ordre. Tout ce qu'on sait, c'est qu'il y en a au moins deux de l'ordre moindre, et que, s'il n'y en a que deux, le troisième est d'ordre supérieur et doit être négligé. D'où plusieurs essais à faire pour grouper ces trois termes ; la discussion conduit aux trois hypothèses suivantes :
Première hypothèse : a ■< 2[rl. — Le seul groupement possible est celui où le premier et le dernier terme sont de
même ordre {œ de l'ordre - par rapport à s); l'équation (36)
se réduit à
d'où l'on tire pour x une valeur de la forme
X = (Ae2)a.
Si a est pair et A négatif, il n'existe de valeurs réelles de ./■ pour aucune valeur de s, c'est-à-dire que, pour aucune sécante passant par 0 et voisine de la tangente de coefficient Ao^ il n'existe de point réel ; les a racines et les deux l)ranches correspondantes sont imaginaires. Si a est pair et A positif, pour toute valeur de £, x a deux valeurs réelles égales et de signe contraire, et la branche présente la dispo-
sition ci-dessous
Fk;. n.
Si a est impair, quel que soit le signe de s, on trouve une valeur réelle pour x, positive si A est positif, négative dans le cas contraire. C'est le cas du rebroussement de première espèce.
FiG. 18.
Deuxième hypothèse : a >- 2[i. — Les deux groupements exclus dans l'hypothèse contraire deviennent ici les seuls; possibles, savoir : premier et deuxième termes de mêmej ordre ; l'équation (36) se réduit à
£cp,(X,)+r/;P7c(X,)=o;
deuxième et troisième termes de même ordre, l'équation se réduit à
et chacune de ces équations étant analogue à l'équation (35) fournit une branche avec une des quatre dispositions dessinées figures 13 à 16. La juxtaposition des branches fournies par
ces deux équations conduira à une des sept dispositions que voici
Fk;. 19.
Troisième hypothèse ; a ^ 2(5. — Les trois termes sont ici de même ordre, et l'équation (36) s'écrit en remplaçant a par 2j3 et divisant par s'
^CtT
Cette équation peut avoir ses racines soit imaginaires, luquel cas il n'existe aucune branche réelle tangente à OT, loit réelles et distinctes, auquel cas l'équation se décompose en deux de la forme x'^ = sB, ce qui conduit, comme dans le cas précédent, à l'une des sept figures 19, soit enfin confondues.
Dans ce dernier cas, l'équation (39) peut s'écrire
|el; il semble qu'il n'y ait plus qu'une seule branche réelle
tangente à OT. Mais il importe de remarquer que, jusqu'à
)résent, nous n'avons considéré que les parties principales
[des inliniment petits; or deux iuliuiment petits ditïéi'ents
Ipeuvent avoir la même partie principale. La question ne
s'était pas posée jusiju'ici, |)arce que les infiniment petits
s'étaient trouvés distingués par leurs parties principales et que nous avions trouvé dans chaque cas deux branches différentes correspondant à la racine ao. Ici, les infiniment petits ne sont pas séparés, et le nouveau problème qui se pose est de savoir s'il existe effectivement deux infiniment petits ayant la même partie principale fournie par l'équation (40). Poxvr cela, considérant toujours 5 comme Tinfiniment petit principal, nous poserons
CL Ou ' 00 ^
x étant la partie principale donnée par l'équation (40) et x^^ infiniment petit par rapport à x' . Portons cette valeur de x dans l'équation (33), où nous remplacerons aussi X parXj-h s; nous avons une nouvelle équation entre les infiniment petits x!' et s, qu'on traitera comme l'équation (33). En général, les deux branches se sépareront dans le cours de cette nouvelle étude ; mais, si l'on était acculé à la troisième hypothèse que nous venons d'étudier et au cas particulier où l'équation (39) a ses racines égales, il faudrait poser
x!" étant la valeur principale de ./", et ainsi de suite. Les deux infiniment petits finiront toujours par se séparer, à moins que la fonction donnée /(.x, y) ne contienne un facteur carré qui correspondrait à une courbe double faisant partie de la courbe étudiée.
11 ne faudrait pas s'empresser de conclure de la réalité de X donnée par l'équation (40) à la réalité d'une branche correspondante pour toute valeur de £; car il reste à trouver x et peut-être d'autres termes de cet infiniment petit
Soit, par exemple, la courbe
{y — xY' — 2 (i/ — x\ x^ -\r x'' — oc^ — y^ ^^ o. On est conduit en posant
à la première valeur approchée x = s. Soit ensuite
tjj - — tX^ I »X f
on trouve
et l'on voit que £ doit être positif. On a donc deux valeurs pour .t'\ d'oià résultent deux points sur toute sécante passant à l'origine au-dessus de la tangente. Les valeurs de x sont
et sont positives toutes les deux. On a un rebroussement de seconde espèce.
.'îl.'î. 3° 11 faut maintenant considérer les racines inulliples de Téquation (34), d'ordre de multiplicité supérieur au deuxième. La marche suivie jusqu'ici devient de plus en plus pénible, parce qu'au lieu d'une équation à trois termes, comme Téquation (36), on aura à grouper les termes d'une équation à [/ -f- i termes, si ;j, est le degré de multiplicité de la racine considérée. h]n pratique, cette équation sei-a, la plupart du temps, incomplète, et l'on pourra procéder comme précédemment; mais il importe d'avoir une règle générale pour le cas on le groupement des termes oil'rirait trop de diflicultés. Celle règle, qui est due à Newton, est la suivante : soit X' la l'acine multiple d'ordre [j. de l'équation (3t), on fait dans ré(|uation (33)
À = X' + s ; soit encore
six | AçH.-l,,.:c J^ ^^.'■l;,/^ -^ ... -f- \i-J',cl f ... 4- L.'-^ — o (41)
l'équation contenant les ternies principaux de l'équation (33), équation dans laquelle il s'agit de trouver les groupes de termes de l'ordre minimum d'infmitude. On trace dans le plan deux axes rectangulaires, et l'on marque dans ce plan les points qui ont pour coordonnées les deux exposants q et p de X et de s dans chaque terme. Comme ni a — a', ni x^ ne sont plus en facteur dans l'équation (33), l'équation (41) contiendra toujours un terme indépendant de x, et un autre de s, c'est-à-dire que, dans le tableau de points précédents, il y en aura toujours un au moins sur Os et un autre sur Oj^. Tous les autres sont, bien entendu, dans l'angle sOa?. Cela posé, concevons une droite mobile d'abord dirigée suivant Os, et qui s'en détache de manière à pivoter autour de son point A, dans le sens trigonométrique. Arrôtons-la au moment où elle passe pour la première fois par un des points marqués; dans cette position, elle contient ])eut-être
FiG. 21.
plusieurs de ces points : soit B le point le plus à droite. La droite AB laisse au-dessus d'elle tous les points qu'elle ne renferme pas. Faisons, de nouveau, pivoter la droite dans le même sens, mais cette fois autour de B, jusqu'à ce qu'elle rencontre un nouveau point; soit C le point le plus à droite parmi ceux qu'elle contient maintenant. Tous les points qui ne sont pas sur BC sont au dessus. Faiso.is, de nouveau, pivot(M' la droite autour deC, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'elle passe par le point F sur Ox. Nous avons ainsi
formé une ligne brisée ABCDEF, que nous appellerons polygone de Newton. Tous les points qui n'en font pas partie sont dans la région de l'angle zOx^ qui ne contient pas l'origine.
Nous allons démontrer qu'à chaque côté du jiolygone correspond un groupement acceptable de termes de V équation (41), et quon aura ainsi tous les groupements ; le coefficient angidaire d'un côté du polygone^ changé de signe ^ est égal au degré d' infinitude de x^ par rapport a s, dans le groupement considéré.
Soit en effet m le degré d'infinitude de x par rapport à s,
c'est-à-dire supposons que — ait une limite finie M non
nulle; un terme quelconque de l'équation (41), K^px^' sera de l'ordre p -\- mq et, entre les termes de même ordre, on aura les égalités
■p -f-mg =p, + mq^ ■= p.^ -f mq.^ = ..., d'ori l'on tire
yy^ — P — Vi __ P — P-2
Or — est le coefficient angulaire de la droite qui joint
le point y>, q, au point ^jj, q^; donc tous les points représentatifs des termes d'un même ordre tn seront sur une même droite de coefficient angulaire — m. De plus, si — ?n est le coefficient angulaire d'un des côtés du polygone de Newton, tous les autres termes seront infiniment petits d'ordre supérieur. Soit en effet Rt'x' unt el terme; il sera d'ordre .s + m?, ^et la droite de coefficient angulaire — m menée par ce point lura pour équation
£ — S = — m [co — /) ,
[elle coupe Oi au "point M', dont l'ordonnée est
CALCUL INFINITÉSLMAL. 21
tandis que le côté du polygone qui a pour équation
coupe Taxe Os en un point M ayant pour ordonnée
p -\- mcj
et situé par construction au-dessous de M'. L'ordre .s + mi, du terme Re'j^ est donc plus grand que celui du terme Ké'xi. On voit en même temps que si, au contraire, on avait laissé des points au-dessous du polygone de Newton, il leur aurait correspondu des termes d'ordre inférieur à ceux conservés. Le théorème est donc démontré.
