Il faut maintenant trouver la limite ]M du rap

port— pour le groupement considéré, c'est-à-dire pour la

valeur de m considérée. A chaque point q, p, situé sur le côté du polygone de coefficient angulaire — m, correspondra un ternie dans l'équation : soit

Y^si'cc-' -\- K,£^ia;'" + ... + \\^t'"^x'i^

l'ensemble de ces termes ; en y remplaçant x par Ms'", l'équation (41) se réduit à

KM'? + K,, M'^i + ,. . . -f KpM /? = 0, (42)

après suppression du facteur commun £?' + '"''. Dans l'équation (42), les exposants sont rangés en croissant; on peut donc encore diviser par la quantité finie non nulle M', et l'on a enfin l'équation

K + K.M'^i -'> -f '... + Kr},\'!'^-'> = G, (43)

qui donnera, pour M, cjr, — q valeurs, en général distinctes, à chacune desquelles correspondra une branche réelle ou

imaginaire tangente à la droite ayant pour coefficient angulaire a'.

Remarquons que q^ — q est précisément la projection sur Oe, du côté considéré du polygone de Newton ; l'ensemble des équations analogues à Féquation (43) fera donc connaître, en appelante, X^, ..., ç-^, q, ..., v, les abscisses des différents sommets du polygone,

c'est-à-dire a valeurs de r pour la valeur donnée de s. On verrait de même qu'à une valeur donnée de x correspondent ]). valeurs de £, c'est-à-dire qu'il correspond p. branches à la racine multiple d'ordre \).. Chacune de ces branches peut toucher la tangente en plusieurs points confondus.

Ce qui précède suppose que l'équation (43) ait toutes ses racines distinctes. S'il n'en est pas ainsi, on opérera comme au n" 312 sur l'équation (40) : on posera

x" étant inliniment petit par rapport à la valeur principale x'=:Me'", qui vient d'être calculée. On substituera cette valeur de X dans l'équation (33) oii a aura été remplacé par >/ -1- s, et, pour le calcul de x", on sera ramené à un calcul analogue à celui qui vient d'être effectué.

On réussira donc toujoui's à séparer les valeurs infiniment petites, si l'équation ne renferme pas un facteur multiple.