X. Les termes
d'oii la disposition représentée par la figure 23.
2° Branches infinies. — Les termes du plus haut degré étante: (a:~ — ?/)2, nous trouvons, comme directions asymptotiques l'axe des y, qui est direction simple, et les bissectrices OF et OG, qui sont directions doubles.
FiG. 22.
FiG. 23.
Direction asymptotique Oy. — Soit x infiniment petit ;
comme y est infiniment grand, nous poserons y = — ? et y'
sera infiniment petit. L'équation entre x et y' devient, en se bornant aux termes d'ordre moindre :
X doit être positif, et il lui correspond deux valeurs pour y', d'où deux valeurs infiniment grandes pour //. On a donc la disposition de la figure 25.
FiG. -24.
FiG. 25.
Direction de la première bissectrice OF. — Posons y = x-\-z^ £ doit être infiniment petit pour que x soit infiniment grand ; donc OF sera l'asymptote elle-même, et nous poserons
x étant infiniment petit : l'équatioQ réduite entre x et s sera
Donc X est négatif, quelle que soit la valeur de s, et l'on a la disposition représentée figure 24.
Direction de la deuxième bissectrice OG. — Après avoir constaté que l'asymptote correspondante est rejetée à l'infini, posons
\ étant un infiniment petit.
Le faisceau des droites qui vont de l'origine aux points de rencontre de la courbe avec la droite (A) a pour équation, après suppression du facteur x + //,
œ[x -\- y]{x-' yY -\- htxyX [x — yY' — hy (% -^ 3a;) \^ [x -j- y)^ = o.
Une ou plusieurs de ces droites sont très peu inclinées sur la bissectrice; posons donc
L'équation, réduite à ses termes d'ordre moindre, devient
Donc A et z sont de même signe : la droite OP, qui correspond à s positif, rencontre la courbe sur une droite parallèle à la direction asymptotique qui a une ordonnée à
l'origine -j infiniment grande et positive. La droite OP', qui
correspond à s négatif, rencontre la courbe à l'infini audessous de la bissectrice. D'où la disposition indiquée [fig. 26) (branche parabolique).
La courbe, représentée par la figure 27, s'achèvera aisément au moyen des quelques remarques suivantes : les axes, ni leurs bissectrices ne rencontrent la courbe en des points réels à distance finie ; la droite OA rencontre la courbe au
point dont l'abscisse est x =^ — --• Les branches de courbe ^ 25
ne peuvent donc, sauf la branche OE, sortir de l'angle où
nous les avons amorcées. Nous représentons, en pointillé,
les parties de courbe qui raccordent de la manière la plus
simple celles qui sont déjà trouvées.
Fig. 26.
Fig. 27.
On peut d'ailleurs étudier complètement cette courbe en la coupant par des droites pivotant autour de l'origine ; mais cette discussion sortirait du cadre que nous nous sommes tracé.
Représentation parabolique de la eourïje à l'origine
318. Toute l'étude que nous venons de faire des courbes dans le voisinage d'un point singulier est fondée sur ce théorème, que les valeurs de y peuvent, dans ce voisinage, être développées en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes et positives de x. Il importe de donner les premiers termes de ces sériés. Pour cela, remarquons que nous avons posé
X, étant une racine de l'équation (34), et que tout l'esprit de la méthode a consisté à trouver la limite du rapport -■- = M. On tire de là
et c'est la solution du problème, lorsque les diverses valeurs dey — Ajj: n'ont pas la même valeur principale. Dans le cas contraire, on pourra poser
c' étant la valeur principale qui vient d'être calculée, et z" une nouvelle inconnue qui se déterminera en fonction de l'infiniment petit x, comme précédemment. En répétant cette opération autant de fois qu'il sera nécessaire, et substituant - dans (44), on obtient finalement la valeur de y sous la forme
y = AiX + Ka7« -f hxi!' 4- ... (46)
les exposants a, [i, ..., étant positifs et croissants.
Ce calcul peut être traduit par l'énoncé géométrique suivant : « Dans le voisinage d'un point singulier, chaque branche de courbe peut être remplacée par un arc de parabole facile à construire ; Téquation de cet arc de parabole est Téquation (46). »
319. Ainsi, dans l'exemple du n° 312 bis^ on trouve comme valeur principale de e
posant alors, parce que les deux branches ne sont pas encore séparées,
on trouve
d'où enfin les deux brandies représentées par l'équation
320. Enfin, dans l'exemple du n" 317, on a trouvé, pour la branche tangente à 0^,
et la parabole auxiliaire a pour équation
Pour la branche taneente à la droite
on a posé
d'où
ce qui donne la parabole
Are, taiiyeiite, asymptote et normale en coortlonnées polaires
lyjil. Arc. — Pour obtenir la différentielle de l'arc en coordonnées polaires, il suffit de poser
X = p COSO),
y = p sinco,
dx = ces M c/p — p sin m c/co, dy = sin (.0 dp -\- p cos w dw.
Faisant la somme des carrés et ajoutant, on trouve
ds'- = dp-^ -I- p^-doy'K (47)
tyj^2. Tangente. — L'équation d'une droite en coordonnées polaires est
- =: A sinco -|- B cosco. (48)
Exprimons que cette droite passe par les deux points de la courbe infiniment voisins, qui ont pour coordonnées r, a et r -\- dr, 7. -\- doc; nous avons les conditions
- = A sin a + B cos a, (49)
— ; — — = A sin (oc 4- dru) -f- B cos (a. 4- da), r -\- dr \ I / I \ \ I
dont la dernière peut être remplacée par celle qu'on en déduit en en retranchant l'équation (49), et divisant par ofa,
r -\- dr r sin (g -{- da) — sin a ^^ cos [t -f- di) — cos a
oJot d<x da.
OU encore
= A ces X — B sin a.
Éliminant A et B enlre (48), (49) et (50), nous obtenons l'équation de la tangente au point /•, x :
sni oj
siiia
ces a
ces CD
COSoc
sm y.
ou en développant
- =: - ces co -
sin (co
On déduit de là la sous-tangente en faisant m = y. -\- ^- d'oii
sous-tang
En faisant p = co , on aura la valeur wj de (.>, qui définit la
direction de la tangente
tang(co,
Appelons V l'angle de la tangente et du rayon vecteur mené au point de contact ; nous aurons
tangY = -- (52)
iyj,ly. Soit, par exemple, la spmile logarithmique, qui a
pour équation
La formule (52) donne
tanoc V = — •
Donc la spirale logarithmique coupe tous les rayons vecteurs issus du pôle sous un angle constant.
824. Asymptote. — Soit a l'angle polaire qui définit une direction asymptotique, c'est-à-dire l'angle fait avec l'axe polaire Oi^, par le rayon vecteur qui joint le pôle 0 au point rejeté à l'infini. L'asymptote correspondante peut être considérée comme une tangente dont le point de contact est rejeté à l'infini; l'équation (51) donnera donc immédiate-
ment, en y faisant - = o, l'équation de l'asymptote
'^ ^^^' sin(co — a). (52)
Mais nous avons vu qu'il n'est pas toujours permis de considérer l'asymptote comme limite des positions d'une tangente. Revenons donc à la définition de l'asymptote.
Soit toujours a l'angle polaire définissant la parallèle OH, menée par le pôle à l'asymptote AB. Par définition, la distance MQ, du point M à AB, doit tendre vers zéro. Menons
par 0 une droite qui fasse avec Oj: l'angle a -(- ^ ; cette droite
coupe l'asymptote en un point C, qu'il suffit de connaître, et
que nous définirons par le segment dirigé OC = d. Puisque MQ tend vers zéro, d sera la limite de la projection du
rayon vecteur OM ou p sur OK, c'est-à-dire qu'on aura
d =z lim p ces ( a -f- - — (0 jj
ou
d = limp sin(oj — a), (53)
et pour équation de l'asymptote
- = - sniiw p d ^
3^5. 11 est intéressant de montrer que les formules (52) et (53) conduisent bien au même résultat, en général. En etï'et, remarquons que si, dans la formule (52), nous faisons
M = y. -\~ '-^1 nous obtenons la valeur de f/, c'est l'inverse de ( - ) ; tout revient donc à démontrer que
lim p sin (co — a) ^ , •
Or on peut écrire, puisque -= o.
sui to — a
. , , Sin co — a co — a p sm(o3-o'.)= ^ = — ^ Y
et la limite du second membre esl bien ( - ) -La seule condition pour que cette démonstralion soit acceptable est (jue (-) ait une limite bien déterminée lorsque w tend
vers a, c'est-à-dire que la tangente ait une position limite. C'est la condition déjà trouvée (n° 302).
32G. On pourrait se demander ici ce qu'il advient lorsque l'équation de la courbe
dont la difîérentiation est nécessaire pour obtenir la dérivée ^-' donne pour cettedérivéeuneexpressionindéterminée.
Mais cette étude, peut-être intéressante comme exercice de géométrie, ne révélerait pas d'autres faits analytiques que ceux auxquels nous a conduits l'étade d'une courbe autour d'un point singulier en coordonnées rectilignes. Il n'y a donc pas lieu d'insister.
327. Normale. — L'équation de la normale s'obtient en cherchant la droite passant par le point ?■, a, et qui est perpendiculaire à la tangente. On trouve aisément
- r= - ces (oj — a) -j ; sin (w — a).
Pour avoir la sous-normale^ on fera o} = a + ^' ce qui donne
Ainsi, dans la spirale (V Archimède ^
p :^ «co,
la sous-normale est constante.
Coordonnées tancientielles
328. La remarque du n° 326 s'applique textuellement à l'équation tangentielle
La dilFérentiation de cette équation, qu'amènera nécessairement Tinterprétation géométrique, conduira à des distinctions dans les propriétés de la courbe représentative ; mais les faits analytiques concernant la fonction !p(«, v) ne seront pas nouveaux. — Je montrerai seulement, par un exemple, combien les mêmes faits analytiques peuvent donner lieu à des interprétations géométriques ditïérentes. En coordonnées cartésiennes, le fait qu'un système de valeurs Xq, ijq annule simultanément la fonction f[x, y), ainsi que ses dérivées partielles jusqu'à l'ordre /> exclusivement, s'est traduit par le langage suivant : En un point singulier, la courbe ci p tangentes distinctes ou confonlues, distinctes ou imaginairr's. En coordonnées tangentielles, si ?^^J, v^ annulent simultanément la fonction cp (^^^') et ses dérivées jusqu'à l'ordre p exclusivement, voici, en admettant que les droites de coordonnées «, V soient les tangentes d'une courbe, quelle sera l'interprétation géométrique : toute tangente singulière est touchée par la courbe en /> points distincts ou confondus, réels ou imaginaires. Ainsi, tandis qu'un point d'intlexion n'est pas, au point de vue cartésien, un point singulier, la tangente au point d'intlexion, en coordonnées tangentielles, est une tangente singulière. Au contraire, si le point de rebroussement de première espèce est, en coordonnées cartésiennes, un point singulier, la tangente de ce point, en coordonnées tangentielles, est, en général, une tangente ordinaire.
3ii9. D'ailleurs on verra, dans le chapitre suivant (n° 361), que l'équation tangentielle d'une courbe n'est pas autre chose que l'équation ponctuelle d'une courbe intimement associée à la première et que les propriétés de l'une se déduisent aisément des propriétés de l'autre; en particulier, les faits à apparence un peu paradoxale que nous venons d'énoncer se trouveront expliqués.
COURBES PLANES [suite) : CONTACT, ENVELOPPES OSCULATION, COURBURE
Définitions
330. On dit que deux courbes ont en" un point un contact du n™' ordre si elles ont, outre ce point, n autres points communs infiniment voisins du premier.
331. Une courbe d'ordre wz est dite oscuiatrice en un point à une courbe d'ordre p [p >> m), lorsqu'elle a avec cette courbe un contact de l'ordre le plus grand possible compatible- avec le nombre d'arbitraires que son équation renferme.
Ainsi une tangente doit être considérée comme oscuiatrice à la courbe en un point ordinaire, parce que deux points (infiniment voisins, ici) suffisent à déterminer une droite. Il peut d'ailleurs arriver que le contact delà tangente et de la courbe, au point simple, soit d'ordre supérieur au second : c'est ce qui arrive âux points d'inflexion.
Pour déterminer un cercle, il faut trois points; donc, en un point d'une courbe, il y a toujours un cercle osculateur. Ce cercle a avec la courbe un contact du second ordre. Exceptionnellement ce contact peut être d'ordre plus élevé ; ainsi, au sommet A d'une ellipse, un cercle tangent en A, qui passe par un point B infiniment voisin de A sur l'ellipse, passera aussi par le symétrique B' de B par .rapport à l'axe ;
il aura donc avec l'ellipse quatre points communs, deux en A, plus B et B' ; le contact sera du troisième ordre.
Par contre, s'il y a inflexion, le cercle osculaleur dégénère en ligne droite. La parabole osculatrice, en un point d'une courbe, sera déterminée par quatre points infiniment voisins, c'est-à-dire aura avec la courbe un contact du, troisième ordre; l'ellipse osculatrice présentera un contact du quatrième ordre, et ainsi de suite.
332. L'objet du chapitre actuel est de chercher les conditions analytiques de contact et d'osculation et d'étudier quelques questions se rattachant à ce problème.
Conditions de contact
