II) — Y

Or on a, en différentiant les équations (6) n fois,

; ?V ^if y2f ^f

Entre les deux premières, on pourra éliminer y^, qui est égale à Y^ ; y' étant donnée par une de ces deux équations^ on portera sa valeur dans les deux suivantes, et l'on éliminera entre ces deux équations yl = Y,',. De proche en proche, on obtiendra les conditions cherchées

Remarque. — Tout ce qui précède suppose les dérivées non toutes nulles, c'est-à-dire le point simple sur chacune dès courbes.

.•$.'56. Théorème. — Si ileux courbes ont un contact, d'ordre n en un poi)it ordinaire M, on peut trouver deux points N, Nj, infiniment voisi?is de Mépris l'un sur la première courbe^ l'autre sur la deuxième,, et tels que leur distance soit d'ordre n -^ \. au moins par rapport à MN.

Soient en effet

les équations des deux courbes; j^q, y^, les coordonnées du point M de contact; j-, y, celles d'un point N de (C), oCj, /y,, celles d'un point Nj de (Cj). Ou peut toujours supposer les axes choisis de manière que Taxe des // fasse un angle fini avec la langente commune en M. Alors la dislance MN se projette suivant un infiniment petit x — j\i, de même ordre que MN. Nous choisirons N,, tel que

La distance NN| sera ainsi égale au module de y — //,, c'est-à-dire à

Or on a, par la formule de Taylor,

ax) = r{x,) -^{x- X,) r (av) + ... + r^Y~k ^""'^^^

^ 1 . :> ... («+ ir ^"^o' ^ ••• ^''

n G^'i) = /. (^o) + (^', - â'o) /■. i^oi + - + ^f ; ~ ;';"|^' rr'M

Comme

+ r. 2 ... [il -h i)^i""'(-^û)-i-

fit que les conditions de contact sont

la soustraction des équations (7) et (8) donnera

JJC Xy^)

[r" + ^)fa;,)-/-i'' + ^)(a.,)] + ...,

ce qui démontre le théorème.

Il faut remarquer que le second membre change de signe avec X — .r,,, si n est pair. Donc les courbes se traversent au point M si leur contact est d'ordre pair, et ne se traversent pas dans le cas contraire.

.*$.37. Réciproquement, ù Von peut trouver sur deux courbes, qui ont un point commun ordinaire M, deux: points N et Nj, infiniment voisins de M, et tels que leur distance NN^ soit d'ordre n -\- \^ par rapport à MN, les deux courbes ont im contact d'ordre n. Pour le démontrer, on prendra l'axe des // parallèle à NN^ ; on supposera les équations des courbes sous la forme (4) et (5), et il restera à exprimer que f{x) — f\{x), c'est-à-dire à cause de (7) et (8),

est du (n + l)"" ordre par rapport à ./; — Xq, ce qui exige que

/•("5 [x,) = rr M-

Ce sont bien les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il y ait contact du n™'' ordre.

338. Par exemple, la distance d'un point M' d'une courbe à la tangente au point M infiniment voisin est infiniment petite du second ordre, si l'on prend comme infiniment petit principal la distance des deux points de la courbe.

On peut voir géométriquement que cette distance est, en tout cas, d'ordre supérieur au premier. En effet, soit M'P la perpendiculaire abaissée de M', sur la tangente; dans le triangle MM'P, on a

M'P^MM'sinM'MP,

et comme le sinus est infiniment petit, le théorème est démontré.

Soit N le point d'intersection de MT et de MT'. Les deux angles en M et M' du triangle NMM' sont en général de même ordre, ainsi que l'angle TNT', qui est égal à leur somme. On verra bientôt que ce dernier angle est généralement du premier ordre; il en est de même de TMM', et M'P est du second ordre.

339. Il est essentiel d'insister sur ce que le point doit être ordinaire sur chacune des courbes. Ainsi, dans le voisinage de l'origine, pour la courbe

la distance d'un point M de la courbe à la tangente en 0, c'est-à-dire à l'axe des x^ est représentée par l'ordonnée y. L'élément d'arc ds a pour différentielle \Jx^- -|- y~ = \jx- -\- x^ = x^ en se bornant à la valeur principale ; or l'équation de la courbe donne

Donc la distance à la tangente est d'ordre - etnon d'ordre 2.

Les démonstrations données au commencement du chapitre ne conviennent plus ici ; la formule de ïaylor ne s'applique plus, la dérivée seconde de l'ordonnée étant infinie à l'origine.

340. Comme application, cherchons les tangentes aux podaires. On sait qu'on appelle ainsi les courbes, lieux des projections orthogonales d'un point fixe 0 sur les tangentes à une courbe (G). Soient MT, MT', deux tangentes à la courbe (G), M, M', leurs points de contact, P, P', les projections de 0 sur ces tangentes. Il faut troïiver la position limite de PP', lorsque M' tend vers M. Mais PP' est évidemment du premier ordre par rapport à MM'. Soit MP" la parallèle à M'P' menée par M, P" son point d'intersection avec OM'; PP" est du second ordre, d'après ce qui précède, et il en est de même de l'angle P'PP ". La position limite de PP" est donc la même que celle de PP'; c'est la tangente en P à la circonférence décrite sur OM comme diamètre.

Cercle oscillateur

341. Proposons-nous de déterminer le cercle osculateur à une courbe définie par les équations

Soit

l'équation du cercle osculateur; les conditions (3), prises en nombre égal au nombre des inconnues a, ji, R, seront ici, en écrivant .r, y, au lieu de/(/,i;, ?(^(i)? et désignant les dérivées par des lettres accentuées,

(a;-x|^ + (//-;5r= W \ (a; — a) a-' + (// — fi) .(/ = 0 '/ ilU) (.r — 7.) x" + {]/ — B) //" + :r'- + //'- ^- o

La seconde de ces équations montre que le centre (a, ^S) du cercle se trouve sur la normale à la courbe^ en x et y, et la troisième y que ce centre se trouvée aussi sur la normale au point infiniment voisin.

On tire des équations (10)

fin

— ij œ

■ {x'ij

xy — y X

Si X est pris comme variable indépendante, la dernière formule s'écrit

V + (lyj

dx'^

Le centre du cercle osculateur s'appelle aussi centre de courbure; et l'on désigne souvent son rayon sous le nom de rayon de courbure. On verra bientôt la raison de ces dénominations, et nous admettrons provisoirement que les signes des seconds membres dans les formules (12) et (13) sont positifs.

Des développées

342. On appelle développée d'une courbe plane le lieu de ses centres de courbure. Voici quelques exemples importants.

343. Soit à chercher l'équation de la développée de la parabole

Prenons .2- comme variable indépendante, et calculons?/,?/" :

, dy 'p

dx y' d'^y p^

dx^

En portant ces valeurs dans les formules (11), on obtient, pour les coordonnées du centre L de courbure,

a zz: '6x -\- p, p-

En éliminant x^ y, entre ces deux équations et celle de la parabole, on trouve l'équation cbercbée

— vY

FiG. 31.

3;44. On trouverait de même, pour la développée de IV/Zi/jse,

la courbe {fig . 32) qui a pour équation

fl)V(f)" = '.

et pour la développée de l'hyperbole

ÎL r . .

la courbe [ficj . 33), qui a pour équation

FxG. 33.