Cherchons enfin la développée de la cychnde y
i X ^= a [i — sin^),
I y = (7 (1 — COS^),
on a successivement
I x' = rt(l — cos^),
I y' =^ a sin t ;
I a?" = « sin t,
I y" = a cos t.
Portons ces valeurs dans les formules (H); les coordonnées du centre N de courbure deviennent
j 0L=:: X -\- 2a sin t = a{t -\- sin t),
I p ^ y — 2a (1 — cos t) = ^ a{l — cosv^).
Posons
f = T + TT,
a = X -|- «71, p=Y— 2rt.
La développée se trouve définie par les équations
X = «(T — sinT), Y = a (i — cosT) ;
i^iT]
iô'N
jp
FiG. 34.
c'est donc une cycloïde égale à la cycloïde proposée, et l'on voit aisément que MH = HN.
Îi46. Théorème. — La développée d'une courbe touche toutes les noi^males de la courbe au centre de courbure correspondant.
En effet différentions la deuxième équation (10) en y considérant Xj y, a, ;3 comme des fonctions de ^, et désignons toujours par des lettres accentuées les dérivées par rapport à /. Nous obtenons, en divisant par dt,
[00 - «) x" + (2/ - P) y" + [oo' - a') X' + [y' - f) y' = o, (14) et en retranchant cette équation de la troisième équation (10)
aV + py = o. (15)
Cette équation exprime que la tangente au point M.{x, y) de la courbe, dont l'équation est (n° 287)
dy doc
dt dt
est perpendiculaire à la tangente au point a, [ù de la développée, qui a pour équation
rfjB drj.
dt dt
Gomme on a déjà prouvé que le point a, i3 est situé sur la normale au point M, le théorème est démontré.
347. Théorème. — La longueur d'un arc quelconque de la développée d'une courbe plane e^t égale à la différence des rayons de courbure de la, courbe donnée, qui aboutissent aux extrémités de Varc de la développée .
En effet la combinaison de la deuxième équation (10), avec la dérivée de la première équation (10), fournit l'équation
a' (a? — a) + j5' [y — p) = — PxR'. (16)
L'élimination de x et de y' entre les deux équations (15) et (10), oij ces quantités figurent d'une manière homogène,
conduit à l'équation
Élevons les équations 1^16) et (17) au carré, ajoutons-les, et tenons compte de la première équation (10) ; il vient
«'2 | ri'2 := R'2.
Or soit a la longueur d'un arc de développée, compté à partir d'une origine arbitraire; on aura (n° 283)
\clt) \dt) ~^\dtj '
ou
dt
Si R' ne s'annule pas, on peut fixer un signe (qui dépend du sens dans lequel on compte les arcs croissants) et écrire par exemple
D'où
.0 = R - Ro-
Cette dernière égalité démontre le théorème énoncé.
Remarque. — Si le rayon de courbure est constant, l'arc de développée est nul et se réduit à un point. La circonférence est donc la seule courbe dont le rayon de courbure soit constant.
.*Mf). Le théorème précédent explique le nom de développée, donné au lieu des centres de courbure. Enroulons en eiïet un fil sur la développée, de manière qu'un de ses points soit fixé en C, et tendons-le de manière qu'il se détache
de la courbe en Gq, par exemple ; il a à ce moment un point en Mq, et sa longueur est
M0C0 + arc C^C,.
Développons le fil : je dis que son point M^, décrira la courbe proposée. En effet, lorsque son point de contact est en C, on a, d'après ce qui précède, et en appelant M le point où le fil tendu coupe la courbe,
MC — M^Cq = arc C(,C, — arc CC, , ou
MC -\- arc CC^ = MqC,^ -|- arc CqC, ;
la longueur totale du fil n'a pas changé,
La courbe lieu de M prend, par rapport à l'autre, le nom de développante. Ce qui précède l'ournit le moyen mécanique de tracer les développantes d'une courbe quelconque; géométriquement, ce sont les trajectoires orthogonales des tangentes à cette courbe.
Des enveloppes
350. Lorsque, dans l'équation d'une courbe, figure un paramètre susceptible de recevoir une infinité de valeurs, toutes les courbes obtenues en faisant varier le paramètre
constituent une famille de courbes. Ainsi l'équation
' ax -\- hy ■\~ c -{- \ [ax -}- b'y -\- c) =r o, (18)
oii A désigne un paramètre variable, représente la famille des droites qui passent par le point commun aux droites
ax -\- by -\- c ^= o, a'x -\- b'y -\- c' =^ o. (19)
De même l'équation
y = mx + R \]m^ -f 1 , (20)
où m désigne un paramètre variable, représente la famille des tangentes au cercle dont l'équation est
x'-^y^^ KK (21)
