Gela posé, considérons une équation

dont le premier membre soit une fonction bien déterminée des coordonnées cartésiennes x et //, et d'un paramètre variable a.

Pour une valeur particulière a de ce paramètre, l'équation (22) représentera une courbe particulière G ; et, si on attribue ensuite au paramètre une autre valeur X + A a, on ol)tiendra une nouvelle courbe G', dont l'équation est

r{x, y, l + AX) = o. (23)

Désignons par ?n, ?n\ ..., les points où la seconde courbe coupe la première ; on nomme poi?il s caractéristiques de la courbe c' les positions limites M, M', ..., que prennent les points /;/, m\ ..., lorsque a tend vers zéro.

Il est aisé de prouver l'existence des points caractéristiques. En effet, les coordonnées des points m., m/, ..., vérifiant à la fois les équations (22) et (23), satisferont aussi à l'équation

/•(y, a;,À-f Aa) - f[x,y,\)^

AÀ ^"^ ■

Si Ton fait tendre zIa vers zéro, cette dernière équation deviendra

^J^li^ = o, (25)

et les solutions communes aux équations (22) et (25) seront les coordonnées des points caractéristiques M, M', ...

Sur chaque courbe de la famille représentée par l'équation (22), il y a donc an ou plusieurs points caractéristiques, et l'équation

du lieu de tous ces points s'obtiendra en éliminant le paramètre A entre les relations (22) et (25). On donne à ce lieu le nom à' enveloppe des courbes (22), lesquelles reçoivent la dénomination d'enveloppées.

Il est essentiel de remarquer que ce lieu peut ne pas exister, ce qui arrive si a figure au premier degré dans l'éqaation (22). Cette équation prend alors la forme

P + AQ = o, (22')

P et Q étant deux fonctions données à'x et d'y. L'équation (25) se réduit à

et les points caractéristiques sont donnés par les deux équations

Ils sont fixes et non mobiles. On peut encore, si l'on veut, considérer, par extension, l'ensemble de ces points, comme Venveloppe des courbes de la famille (22'), ou réserver cette dernière appellation pour le cas des points caractéristiques mobiles.

o52. Nous donnerons deux exemples d'enveloppes. Considérons d'abord l'équation

1/ = AX — ^ X-i

qui représente la parabole que décrirait un corps pesant lancé dans le vide, avec une vitesse constante, sous une inclinaison variable dont la tangente trigonométrique est a. L'élimination de ce paramètre entre l'équation précédente

et sa dérivée 1 parabole