X -- =r 0, donne pour l'enveloppe une autre
Ce problème, résolu par Jean Bernouilli (à la fin du xvi'' siècle), est le premier exemple de la détermination de l'enveloppe d'une famille de courbes.
Le second exemple sera traité par des considérations de géométrie pure.
Le sommet A d'un angle droit parcourt une courbe donnée (A); un des côtés de l'angle droit passe par un point fixe F. Trouver le point caractéristique sur l'autre côté AB, et le lieu de ce point (enveloppe de AB).
Appelons [x le point de rencontre de deux côtés successifs AB, A'B'; il s'agit de trouver la position limite de \).. Le milieu w de F;;, est sur la perpendiculaire élevée au milieu de AF, et sur la perpendiculaire au milieu de AA', puisque AA' est une corde du cercle décrit sur F[j. comme diamètre ; cette dernière perpendiculaire a pour position limite la normale en A à la courbe (A), lorsque A' tend vers A. La position 0, limite de m, est donc au point de rencontre de cette normale avec la perpendiculaire au milieu de AF; et la limite M du point •;, s'obtient en prolongeant FO jusqu'à son intersection avec AB. C'est le point caractéristique chercbé. Le lieu du point 0 esl une courbe, dont tous les points sont a égale distance de F et de la courbe (A) ; donc le lieu des points caractéristiques M est une courbe, dont tous les points sont équidistants de F, et d'une courbe bomotbétique de (A) par rapport à F, le rapport d'homotbétie étant égal à 2.
FiG. 36.
CALCUL IXI'IMTESIMAL.
En particulier, si la courbe (A) est une droite ou une circonférence, le lieu obtenu est une parabole ou une conique à centre ayant F pour foyer, et l'on voit, dans ce cas, que les droites AB touchent la conique au point M : c'est une propriété bien connue de la projection du foyer sur les tangentes.
353. La proposition que nous venons de vérifier sur un exemple est générale.
Venveloppe (26) est tangente à chacune des enveloppées, aux points caractéristiques.
En effet, remarquons d'abord que F(.t, y) est identique à la fonction f{x, y, a), dans laquelle \ est remplacée par sa valeur tirée de (25j, ce que nous indiquerons ainsi
Cela posé, soit x^, yi, les coordonnées d'un des points carac, téristiques de (C); la tangente à la courbe (G) au [ oint x^- ^1, aura pour équation
La tangente à la courbe (26) au même point ^F :iF
ce qui peut s'écrire, en vertu de l'identité (27) et en désignant par A^ la valeur prise par a quand on y remplace les coordonnées courantes par .r^, y^,
^ ry(a^,,.v,, A,) , y(^ny., \) ^1
Or, A étant déterminé par l'équation (25), on a identiquement
et l'équation (29) se réduit à
:^/(^P^oÂ.) ^/-^^n.ynÂ,) ^ ^
Mais le point .i^i, ?/|, satisfaisant à l'équation (26), \^ est solution commune aux deux équations
c'est-à-dire qu'il a précisément pour valeur celle du paramètre qui détermine la courbe (G). Les deux équations (28) et (30) sont donc identiques, et les courbes (22) et (26), ayant môme tangente au point (.r^, y^), sont tangentes entre elles.
.•$5^. Lorsque toutes les courbes d'une même famille passent par des points fixes, ces points fixes font partie de Venceloppe. En effet, s'il y a des points fixes communs à toutes les courbes do la famille, les coordonnées de ces points, satisfaisant à l'équation (22), quelle que soit la valeur de a, vérifieront ré(iuation (26), qui comprend tous les points pour lesquels les (Vjuations (22) et (25) ont une racine commune en a.
*55r>. La développée d'une courbe est Venveloppe de ses normales. Supposons, en etfet, que les coordonnées x, y d'un point d'une courbe soient exprimées en fonctions d'un [)aramètre t, et désignons toujours par des lettres accentuées les dérivées par rapport à /. L'('quation de la normale an [)oint ./•, y aura pour équation
L'enveloppe de la normale s'obtiendra en adjoignant à l'équation précédente sa dérivée par rapport à t
et l'on retrouve ainsi les deux dernières équations (10). Le point caractéristique de la normale est donc le centre de courbure, et l'enveloppe des normales est la développée. C'est, sous une autre l'orme, la remarque faite au moment oii nous avons écrit les équations (10).
356. Il arrive souvent que l'équation de la courbe renferme ?i paramètres liés par n — 1 conditions. Voici comment, dans ce cas, on trouvera l'enveloppe :
Soit d'abord n = 2; l'équation de la courbe est alors
les paramètres ?/ et r satisfaisant à la condition
On peut concevoir v comme une fonction de u, définie par l'équation (32); l'équation (31) ne contient alors que le paramètre 2(, et, pour avoir l'enveloppe, il faut à l'équation (31) adjoindre la suivante
î)« i}v du
cl V Mais -j- est donné par la dérivée de l'équation (32)
?cp ?© dv
^ + T^ TT = o. 34
ou ov au
' dv
Eliminons -7- entre les deux dernières équations, il vient-
du
L'enveloppe s'obtiendra en éliminant u et y entre les
équations (31), (32) et (35).
