On opère de même pour n > 2. Soit, par exemple

f{x, y, H, y, îo) = G, (37)

l'équation de la courbe, les trois paramètres k, v, ir, étant liés par les deux conditions

cp (if, u, 10) = G

•l («, y, îo) = G,

Considérons toujours u comme le paramètre variable; aux équations précédentes il faudra joindre

ou (JV ow

c>Cû , tl© , , ?C& , OU OV ÙIO

-^ + c^ y + r-^ 2/; = G, ou. OV 010

qui, par l'élimination des dérivées v\ w\ donnent

'dlO

cVp

^Cp

ht

L'enveloppe s'obtiendra en éliminant ?^ i\ w^ entre les

équations (36), (37), (38) et (39).

Passage de l'équation carlésieiiiie à l'équation tangentielle

3o8. Cherchons renveloppe de la droite

ux -|- î'/y — 1 = o, (u))

sachant que

cp (7^, V) = o. (41)

L'équation (35), qu'il faut adjoindre aux deux précédentes, est ici

L'élimination de u, v, entre ces trois équations, conduira à l'équation de l'enveloppe

Cette dernière équation est l'équation cartésienne de la courbe dont (41) est l'équation tangentielle (n° 279).

359. Ce qui précède donne le moyen de passer de l'équation tangentielle d'une courbe à son équation cartésienne (43). Le problème inverse est aussi aisé à résoudre. Il suffit pour cela d'exprimer que la droite (40), en un de ses points d'intersection avec la courbe (43), est parallèle à la tangente en ce point, dont l'équation est

la condition de parallélisme est

Les coordonnées du point de contact satisfont aux équations (40), (43) et (44); en les éliminant, on retrouvera l'équation tangentielle (41).

On remarquera l'analogie complète entre les deux calculs qui viennent d'être exposés.

On pyut simplifier ce calcul. Posons dans toutes les équations précédentes

puis effaçons les indices. Remarquons ensuite que, si l'on appelle ?n le degré d'homogénéité de f{x, y, s), on a identiquement

et par conséquent, si le point est sur la courbe,

«:fx -h yfû + ^A' = o, ou

Gela posé, le systèaie des deux équations (43) et (4i') peut être évidemment remplacé par le suivant

tk^tk^tL. (43)

On verrait de môme que le système des équations (41) et (42) peut être remplacé par

X II z

:i69. Cherchons, par exemple, l'équation tangentielle des coniques

f[x,y. z)~ k^f' + A'.y- + .V'^r^ -\- iWxy + 2 B' zx f ^2B ;/3- = o, (47)

OU, ce qui revient au même, la condition pour que la droite

ux -\- "^y '\- loz = o (48)

touche la conique (47).

D'après le paragraphe précédent, il faut éliminer j:, y, z, entre l'équation (48) et les deux suivantes

Aœ H- B"îj -t- B'z B'x + A'y + B^ Bj^ By + A"z

Si on égale la valeur commune de ces rapports à — À, et qu'on chasse les dénominateurs, on aura quatre équations homogènes entre lesquelles on éliminera x, y, z et /. ; le résultat est

Cette équation est du deuxième degré en u, t\ w.

361. Nous avons dit, en terminant le chapitre précédent, que l'équation tangentielle d'une courbe est susceptible d'une explication ponctuelle. Nous sommes maintenant en mesure d'éclaircir ce point.

On sait que, si

est l'équation d'une conique (F), la droite

aFi + ,8F; -I- yFi = 0

s'appelle ia polaire du point a, [i, y, par rapport à la conique. Si cette polaire reste tangente à une courbe donnée (G), son pôle décrit une courbe (C), qu'on appelle la polaire réciproque de (G) par rapport à (F), et réciproquement les tangentes de (G') ont leurs pôles sur (G) ; (G') est l'enveloppe des polaires des points de (G). Gela posé, prenons pour conique (F), le cercle

et soit

l'équation de la courbe (G), dont on veut chercher la polaire réciproque par rapport au cercle.

A cet etîet, soit a, (3, un point de (G), c'est-à-dire supposons

Sa polaire aura pour équation

ax -\~ '^y — 1—0, (53)

et nous avons à chercher l'enveloppe de cette droite. On sait qu'il faut adjoindre à ces deux équations la suivante

puis éliminer a, (3, entre les trois dernières équations. On reconnaît le calcul qu'il a fallu faire pour passer de l'équation tangentielle (41) à l'équation ponctuelle (43). Donc si, dans l'équation (41), on considère u^ v comme les coordonnées d'un point, cette équation représentera la polaire réciproque de (43), par rapport au cercle représenté par l'équation (50). Ainsi s'expliquent certains faits à apparence paradoxale, signalés dans le chapitre précédent. A un point multiple muni de ^j tangentes, correspond, dans la polaire réciproque, une tangente multiple \p points de contact. A un point d'inflexion où la tangente a trois points confondus, communs avec (G), correspond une tangente du point de contact (point de rebroussement) de laquelle on peut mener trois tangentes confondues à la polaire réciproque (G'), et ainsi de suite.

Concavité et convexité

362. Soit M un point ordinaire d'une courbe, MT la tangente en ce point, Mj, M.,, deux points très voisins de M sur

la courbe, et situés de part et d'autre de M. Ou dit que la courbe est concave vers les y positifs, dans le voisinage de M, lorsque tous les points de l'arc M,MM^ se trouvent, par

rapport à la tangente, dans la même région que la parallèle à Oy menée du point M vers les y positifs. Dans le cas contraire, la courbe est concave vers les y négatifs, ou convexe vers les y positifs. Enfin, si des deux arcs MMj, MMo, l'un est au-dessus, l'autre au-dessous de la tangente, le point M est dit point cVinflexion.

Il est facile d'exprimer les conditions pour que telle ou telle forme se produise.

Supposons que, dans le voisinage du point M, l'ordonnée de la courbe puisse être représentée en fonction de l'abscisse, par une série de Taylor

FiG. 37.

L'ordonnée de la tangente se tire de l'équation de la tangente

La courbe sera concave vers les y positifs, si l'on a, de part et d'autre du point Mj,

Soit f''{x), la première dérivée de y d'ordre supérieur au premier, qui ne s'annule pas pour x = Xq; on aura

fiP)[a;^^e{x-x,)].

Si p est pair, le premier facteur du deuxième membre sera positif, quel que soit le signe de x — x.^. Et comme /''(.r) est supposée non nulle au point M et continue, le signe de

y — Y sera celui de /(^) (j^q), c'est-à-dire qu'on aura, vers les y positifs,

concavité si fP {x^ > o,

convexité si /"'''' ('^o) < o-

Au contraire, %\p est impair, y — Y change de signe avec X — Xq, et la courbe traverse sa tangente ; le point est un point crinflexion. Par conséqueut, pour qu'il y ait inllexion, il est nécessaire que

mais l'analyse précédente montre que cette condition n'est pas suffisante.

3613. Nous avons supposé, pour la facilité du raisonnement, l'ordonnée exprimée explicitement en fonction de l'abscisse. Il importe de savoir écrire la condition (55), lorsque l'équation de la coui'be se présente sous la forme

F [x, jj) =0.

Il suffit, pour cela, de prendre deux fois de suite la dérivée par rapport à x^ puis d'éliminer yj, entre les deux équations ainsi obtenues, en faisant en même temps y" =^ o. On trouve

(f;)'^ f^. - 2f;f;fi,, + (Fii^ f;;. .= o. (56)

Telle est la condition nécessaire pour que la courbe traverse sa tangente au point M. 11 est essentiel de remarquer que la méthode suivie pour arriver à cette équation a supposé F,^ 7^ 0, c'est-à-dire la taugente en M non parallèle à Oy. Cette restriction n'avait aucun inconvénient dans l'étude de la concavité vers les y positifs, puisque la question ne se pose pas dans le cas particulier d'une tangen'e parallèle à 0//. Mais le problème de Tinflexion subsiste.

Remarquons d'abord que le problème de la concavité vers les abscisses positives se traiterait comme le précédent; ce

n'est qu'un changement de notations. Si maintenant on veut en déduire la recherche des points d'inflexion, on procédera comme ci-dessus, et la symétrie parfaite de l'équation (56), par rapport aux lettres x et y, prouve que l'on retombera sur la même équation ; (56) est donc l'équation à laquelle satisfont, dans tous les cas, les coordonnées des points d'inflexion.

De la Ilessieiîiie

364. Si, dans l'équation (56), on considère j; et y/ comme des coordonnées courantes, elle représente une courbe qui passe par les points d'inflexion. On voit immédiatement qu'elle passe aussi parles points multiples, puisque les coordonnées de ces points annulent F^ et F^. Le lecteur vérifiera aisément le théorème suivant : introduisons les coordonnées homogènes et appliquons le théorème d'Euler aux dérivées rendues homogènes de F (.i-, y, c), c'est-à-dire remplaçons

-1)FX

par

xY%, + yF^, -f ^F^„

par

«^Fl.,-f-yF'>4-^F^.,

par

xYl. 4- y^lz. -f- ^F':2.

Fj^-2

J- xz

1 zx

A ZIJ

Lea points communs à la courbe proposée et à la courbe (56) se trouvent aussi sur la courbe qui a pour équation

Cette courbe s'appelle la Hessienne de la courbe proposée, et le déterminant du premier terme s'appelle le Hessien de la fonction homogène F(^, y, z).

Théorème. — La Hessienne est le lieu des points doubles des premières polaires.

On a vu (n" 293) que la première polaire d'un point a, (â. Y, a pour équation

aF^ + PF; -f yFi = G.

Les coordonnées d'un point double de cette polair.:' vérifieront, en même temps que l'équation précédente, les deux suivantes, obtenues en prenant les dérivées par rapport à x et par rapport à y:

aF;,+ pF;;2 + yS;3 = o.

En éliminant a, ^3, y, on trouve bien la Hessienne.

Voici encore deux propriétés de la Hessienne faciles à vérifier en prenant pour axes de coordonnées, dans le premier cas, les tangentes au point double; dans le second, la tangente au point de rebroussement et une droite quelconque passant par ce point :

En un jjoint double de la courbe originaire, la Hessienne a également un point double, et les tangentes des deux courbes au point double sont précisément les mêmes.

En lin point de rebroussement de la courbe originaire, la Hessienne a un point triple, et deux de ses branches g touchent la tangente de rebroussement, tandis que la troisième a une tangente séparée.

Courbure

305. Nous avons vu, dans les paragraphes précédents, que les singularités d'une courbe ne sont pas les mômes, suivant qu'on se place au point de vue ponctuel ou au point de vue tangentiel. La notion de courbure que nous avons maintenant à étudier constitue un lien entre les deux points de vue.

Démontrons d'abord que Fangle de deux tangentes infiniment voisines est généralement du jnême ordre que f arc qui unit leurs points de contact.

Soit £ l'angle de deux tangentes, qui font avec ox respectivement les angles V et V -\- d\ ; on a

et s s'appelle Va/ig/e de contingence.

Or

tano- V = -f--

^ dx

On déduit de là en différentiant

1 ^ dxd-y — dydPx

cos^ V ~' dx^

ou .

,,, dxd'^y — dijd'^x 1

dx'^ , , (dy\^

dx) Donc, enfin

dxd'-ii — diid^x ,„oN

Soit ^ la variable indépendante

dx = x'dt^ d'^x = x'dt^^ dy = y'c//. //-// -^ y"di-\

la formule précédente devient

di. (59)

X- ^ y Or la différentielle de l'arc a pour valeur principale

ds = \Jdx^ + dy- = s] x"- -\- y"^ di. ((îO)

Le tliéorème est donc démontré.

.*^66. On appelle courbure le rapport des deux iiifmiment petits précédents, c'est-à-dire le rapport de l'angle de deux tangentes infiniment voisines à la différentielle de l'arc. Nous désignerons cette quantité qui n'est, en général, ni nulle, ni infinie, par la lettre k.

h = "ÙLzUÙ^. (61)

Si X est prise comme variable indépendante, la formule devient

bnm

En comparant la formule (61) et la formule (12), on voit que la courbure est l'inverse du rayon du cercle osculateur ; ainsi se trouvent justifiés les noms de rayon de courbure et de centre de courbure, donnés au rayon et au centre du cercle osculateur. Une remarque est cependant essentielle : le signe de la courbure est parfaitement déterminé, au moins une fois fixé le signe du radical dans la formule (60), c'està-dire une fois qu'on a convenu de faire croître les arcs, soit dans le même sens que la variable indépendante, soit en sens inverse. Au contraire, le signe du rayon de courbure n'a pas été fixé dans les formules (12) et (13). Nous conviendrons d'appeler expressément rayon de courbure l'inverse de la courbure; la valeur absolue de ce rayon est le rayon du cercle osculateur.

11 nous reste à montrer que le centre de courbure est du côté concave de la courbe. Les formules (10), qui nous ont servi à le déterminer, s'écrivent en y prenant .r comme variable indépendante

^-a+(.v-fi)^. = 0 I

e sisrnes

et la dernière nous montre que // — â et -7^, sont d

contrai es. (h- nous avons vu (n" 362) que, si y, est >> o,

il y a concavité vers les // positifs, c'est-à-dire que la courbe est au-dessus de sa tangente; mais y — 3 étant négatif, le

centre de courbure est plus haut que le point de contact, c'est-à-dire également au-dessus de la tangente. Même conclusion si -7^ est négative : le cercle osculateur est du dx-

même côté que la courbe par rapport à la tangente. La définition géométrique rendait cela évident.

367. Soit -7-^ = 0 • le point est un point d'intlexion. Les (ix^

formules (63) montrent que, dans ce cas, y — (5 et a: — a

sont infinies, pourvu que-r^ ne soit ni nulle, ni indéterminée.

Donc, en un point d'inflexion simple, la courbure est nulle et le rayon de courbure infini.

La corrélation que nous avons constatée, entre le point d'inflexion, qui est un point ordinaire à tangente singulière, et le point de rebroussement de première espèce qui est, en général, un point singulier à tangente ordinaire, nous amène à rechercher comment se comporte la courbure en un point de rebroussement.

Pour cela, reportons-nous à l'étude que nous avons faite d'une courbe autour d'un point singulier (chapitre xvi, point de rebroussement et formule 45) ; nous avons vu que, dans ce cas, la courbe peut être assimilée, au voisinage de l'origine, avec la courbe

{il — \xf = \\x-'-'^"\

m étant égal ou supérieur à l'unité et M étant une quantité finie. On pourra donc exprimer les deux coordonnées en fonction d'un paramètre, en posant

ij = 11^ -\- M/- '■'".

Ces deux expressions substituées dans les formules (10) donnent pour la deuxième, en divisant par t et faisant ensuite

^ ^ 0, d'où x= y = o,

a + Xp = G,

et, en tenant compte de cette équation, pour la troisième, divisée par /'" :

Mp = 0.

On voit ainsi que le centre de courbure est aussi à l'origine : le rayon de courbure est nul et la courbure infinie en un point de r ébroua sèment de preniière espèce. Comme, en

un point ordinaire, ~ et j^^ ont des valeurs finies, non

nulles, et bien déterminées, le rayon de courbure ne peut être nul qu'aux points de rebroussement.

Il en résulte que la développée d'une courbe passe par ses points de rebroussements de première espèce.

368. Relation entre la couriîure d'une courbe et celle DE LA développée. — Les angles de contingence aux deux points correspondants sont évidemment égaux ; on aura donc, en conservant les notations ordinaires et appelant en outre p le rayon de courbure de la développée

Comme ] f/a | =: | c/R | , nous pourrons écrire

Si le rayon de courbure passe par un maximum

donc

le point de la développée est un point de rebroiissement de première espèce. C'est ce qu'on peut vérifier sur les exemples que nous avons traités ; aux sommets de l'ellipse, de l'hype rbole, de la parabole, de la cycloïde, correspondent des points de rebroussement de la développée et, de plus, pour cette dernière courbe, ses points de rebroussements sont bien sur sa développée.

369. Considérons, comme seconde application, la courbe qui a pour équation

Cette courbe, symétrique par rapport à Oj-, offre, à l'origine, un point de rebroussement et, à l'infini, un point d'inflexion parabolique.

Posons, pour calculer les coordonnées a, 3 du centre de courbure et le ravon R de courbure,

On

tr

ouve

sans

peine

A l'origine, zf = o, le rayon de courbure est bien nul ; au point d'inflexion à l'infmi, R ^ oo , ce qui est conforme aux prévisions.

370. Démontrons maintenant une formule élégante, relative au rayon de courbure et déjà obtenue autrement n° 105.

Appelons a l'angle que fait avec ox la tangente au point M, comptée dans le sens des arcs croissants. L'arc s étant pris pour variable indépendante, et l'élément d'arc ds ayant

pour projection dx^ on a immédiatement

dx

ces a =

siii-/.

ds dij

FiG. 38.

d'oii, en difîérentiant,

— sin (xdoL = -T-r ds ds'

COS aax rrr — -— ds.

ds-

Élevons au carré et ajoutons, il vient

Or da est précisément l'angle de contingence dont la valeur

est, comme on sait, -5- 5 on a donc finalement

dhiY

J fd}x\^ ('iv\

.*i71. Différence entre un arc infiniment petit et sa corde. — Cette question est une application immédiate de la théorie de la courbure.

Si l'on prend l'arc pour variable indépendante, la dernière formule du paragraphe 283 devient

d'où en différentiant deux fois de suite

Cette dernière formule peut s'écrire, à cause de (65),