III

Cela posé, la différence o entre l'arc A,s et la corde, dont les extrémités sont aux points x, y et x -\- A.r, y -f Ay est

0 = A^ — v/Aoj^ -f Aï/-.

Or la formule de Taylor donne

!^x = x'ds 4- - x"ds^ 4- - x"'ds^ -\~ ....

^y = y'ds + - i/ds'^ + - .yVs^ + ... ;

d'oïl, puisque ds = A.9,

Si l'on tient compte des égalités établies au début de ce paragraphe, et si on développe l'accolade suivant la formule du binôme généralisée, il vient, toutes réductions faites, pour valeur principale de g,

S = i- r-ds^.

Donc la différence entre un arc infiniment petit et sa corde est un infiniment petit du troisième ordre par rapport à l'arc, et son rapport au cube de l'arc est égal au vingt-quatrième du carré de la courbure.

372. On démontrerait de même les formules suivantes^ : La longueur d'une tangente comprise entre le point de contact et la tangente infiniment voisine a pour valeur iwincipale

La différence entre les longueurs des deux tangentes menées aux extrémités d'un arc infiniment petite et terminées à leur point de rencontre^ a pour valeur principale

k désignant -y-.

V angle de la corde et de la tangente a p)0ur valeur principale

- hds ;

c'est la moitié de la valeur principale de l'angle de contingence.

La différence entre cette moitié et Fangle précédent a

pour valeur principale — k'ds^.

Enfin la différence entre les angles que fait la corde de l'arc avec les tangentes à ses extrémités a pour valeur principale

-z lids^.

Équation intrinsèque

373. Dans le calcul différentiel et intégral^ les courbes interviennent surtout pour faciliter la conception ou

1 Voir une note de M. Roiiché, qui fait suite au Traité de Géométrie descriptive d'OnviEK (3' édition).

renoncé des propriétés relatives aux fonctions de deux variables. Cependant, tant au point de vue mécanique qu'au point de vue géométrique, l'étude des formes de courbes a en soi tant d'intérêt que nous insisterons encore un peu sur ce sujet.

Un des premiers efforts des géomètres consiste à s'affranchir de la sujétion des systèmes spéciaux de coordonnées, pour concentrer leur attention sur les propriétés qui ne tiennent pas à la situation de la courbe par rapport aux axes de référence. Il est naturel dans cet ordre d'idées, et c'est précisément ce que nous avons fait dans le paragraphe précédent, de considérer la longueur de l'arc comme la variable indépendante : si l'on connaît, pour chaque point, la courbure, la courbe pourra être construite. En effet, la connaissance de la courbure entraîne celle de l'angle de contingence. Or, si nous assimilons la courbe à un polygone inscrit de côtés égaux à ds, on pourra, en vertu du théorème démontré n° 289, considérer le supplément de l'angle de deux côtés consécutifs, comme égal à l'angle de contingence en leur point de rencontre, et le polygone sera entièrement déterminé par la connaissance de ses côtés et de ses angles. On appelle équation intrinsèque de la courbe la relation entre le rayon de courbure et l'arc

374. Nous allons vérifier que cette équation suffit pour déterminer la courbe.

En effet on en tirera d'abord

Puis, a étant l'angle de la tangente avec ox, nous avons vu que l'angle de contingence avait pour valeur

ch cl. = ^-

Si donc ç est la fonction déterminée de 5, qui a -p- pour différentielle, on aura

Les coordonnées x^ ij du point M se déduiront des formules (64)

dx = CCS oids^ dy = siii (xds.

Les seconds membres sont connus ; on déterminem leurs intégrales X, Y, et Ton aura

Ou — j\. ^i\