Supposons, par exemple, que Téquation (66) se réduise à

a étant une constante. La fonction 9 a pour valeur

D'où

dx = ces ds,

dy = sin ds,

X = a sin (5 — 5,,), Y = — a CCS (5 — Sy), X — a?(, ■= a sin (5 — .s„),

y — 2/o = — « *-^os l^" — ^0

L'élimination de x s'obtient en ajoulant les deux dernières relations préalablement élevées au carré; le résultat

[x — x^y + (y — .yj^ = d^

montre que la circonférence est la seule courbe à courbure constante. Nous avions déjà démontré ce théorème dans la théorie des développées.

Ordre, Classe, Genre des courbes algébriques Formules de Plûcker

376. On appelle ordre d'une courbe plane le nombre total de ses points d'intersection avec une droite quelconque, ou encore le degré de son équation en coordonnées rectilignes. Ce nombre sera désigné par la lettre n.

On appelle classe d'une courbe plane le nombre total des tangentes que l'on peut mener à la courbe d'un point quelconque, ou encore le degré de son équation tangentielle. Ce nombre sera désigné par la lettre k.

Nous introduirons encore les notations suivantes

d^ nombre des points doubles, ï, nombre des tangentes doubles, r, nombre des points de rebroussement, 2^, nombre des points d'inflexion ;

et l'objet de l'étude actuelle est de trouver les relations entre ces différents nombres.

377. Nous commencerons par observer que nous n'avons pas introduit de multiplicités d'ordres supérieurs au second. C'est qu'on peut, à l'aide des considérations suivantes,

toujours remplacer un point multiple d'ordre h par un certain nombre de points doubles : bornons -nous, pour faire comprendre la méthode, au point „ ^,, triple. Il suffit de concevoir trois branches

FiG. su. i

de courbes passant dans le voisinage d'un même point o ; elles déterminent, par leurs intersections mutuelles, trois points doubles. Si on les déforme de manière à les amener à passer en 0, le point triple ainsi

obtenu sera la réunion de trois points doubles. On verrait de même qu'un point multiple d'ordre h peut être considéré

comme absorbant —^^ — ^points doubles.

378. Il a été établi (n° 293) que les points de contact des tangentes issues d'un point P à une courbe d'ordre n sont à l'intersection de cette courbe et de la première polaire de P, qui est du degré n — 1 ; ils sont par conséquent en général au nombre de niii — 1). Il en résulterait l'égalité

si tous les points communs à la courbe et à la polaire de P étaient effectivement des points de contact de tangente issus de P. Mais on a déjà vu que les points doubles étaient aussi sur la première polaire, et, en faisant passer cette polaire dans le voisinage du point double, avant de la faire exactement passer à ce point, on voit qu'un point double absorbe deux intersections de la courbe et de la polaire.

Pour avoir les tangentes effectives issues de P, il faut

donc déjà diminuer — ^ — de 2d. Ce raisonnement suppose que la polaire passe au point double sans y avoir, avec la courbe, aucune tangente commune. Il faut donc chercher la tangente de la polaire au point double.

Nous prendrons ce point pour origine, et les deux tangentes au point double pour axes de coordonnées. La courbe a alors pour équation

o = :ry -{-<^^{x, 1/) -j- ... (67)

et la polaire du point P (a, (ij (n° 293)

0 ^ ay -f- {i.x -\- termes du 2" degré au moins.

La tangente', à l'origine,

a// -[- pa; = G,

378 CHAPITRE XYII

forme, avec les axes et la ilroile OP, un faisceau harmonique. Elle est donc distincte des tangentes au point double. Celte conclusion, à son tour, se trouve en défaut, si les tangentes au point double sont confondues (point de rebroussenient) ; alors la langente à la jiolaire se confond avec la tangente an point de rebroussenient. St>it dans ce cas, o,r, la tangente, de rebroussenient; la courbe proposée aura pour équation

et la première polaire

0 = 2,8// 4~ termes du S*" degré au moins.

Multipliant cette dernière équation par //, et la précédente par — 2^, on obtient, en ajoutant membre à membre, une courbe qui a un point triple à l'origine et qui a, avec la polaire, les mêmes points communs que cette dernière avec la courbe proposée. Or, en développant les calculs, on voit aiséuuMit que, dans le cas général, cette courbe n'est pas tangente a ox\ ses trois branches en o coupent donc la polaire (qui, elle, touche ox) en trois points simples, et le point de rebroussenient absorbe trois des points de rencontre de la courbe avec la première. Finalement, il reste pour la classe /■ d'une courbe d'ordre /)

.*>7î). En considérant la polaire réciproque pour interpréter l'équation tangentielle, comme nous l'avons indiqué n" 361, on obtient immédiatement la formule corrélative

3580. Des considérations analogue spermettent de relier le nombre iv des points d'intlexion à l'ordre et au nombre des points doubles ou de rebroussenient. Les points d'inflexion sont à l'intersection de la courbe et de la kessienne (57);

conitliKS iM.AiNi':s .'{70

comme colle. (l<'rMi(''r<' csl du de^ré ';i{-N, — 2), oji aiii'iiil

, ta = :hi{n — 2),

s'il n'y iivtiil piis de [loiiils siiif^iiliers.

Mills on il vn, n" IJdi, (\[\r 1rs |H»inl,s donMes cl de r(d)i'()iisseni<'nl de hi (■(inrhc ori^iniiirc soni, iuissi sin* lii li(\ssienne, cl on ii donne les liin;^(Mil('s de iii liessienne (!n ces |»oinls. Il en résnile iniinédijileineni- deux consé- (jneiic<'s : I" un point donhhi iil)Soi'lj(! six des points conimuns de iii cunrhe ol do iii iiessientu'; 2" <'n ii|)|)li(|iiiitil, nn raisorinomerit amilogncv ii celui (jne nous venons de l'iiiri^ (ifiiis lii rechendie d<' \;\ (diisse (d. (|in', |)<hm' ce niolil", nous lions dispenserons de re|)rodnire, on voit, (jirnn |)oinl. de i'(d)i'oiisse[)ienl iil}Sorli(^ linil des poinis connnnns de l;i (•onrhe (d. de lii liessienne. l'iiiiilenienl lii l'orninle (diei(dM''e, esl, don(;

w = 3n (n — i2) — ikl — Hr. (1\ )

.*53M . \\\\ ('onsidéninl lii poliiire récipro(|ne, on oldienl, lit dernière rorninle

litm. Les formules (09), (70), (71) et (72), sont iip|)(d('es l'oi-tniiles de IMiicker, du tH)rn de leur inverdcnr. Mlles ne sont |)fis indépendiinles. l]\\ ellel, lii sons(i'ii(dion penind, ii|)pli(|(n'e lin groupe (f)9j, (71), on ;iii groupe (7<)j, (72), d'écrire ré(|iiiilion Niii(jne

;{(/,. n) :--- w — r, iT.S)

(jni peut renipliicer (70) et (72). Il l'esle donc trois (''(|iiiiiions disliindes, (|ni |ierni(dlront de (;alciiler Irois (|niiiilil<''s, coniiiiissiint les Irois iinlres. (^oninie ii|iplic;il ion, (diercdions les nombres d(^ IMi'i(d<er, pour une coui'hc d'oF-dre //, siins [)oint donlde ni rehroiissemenl. L(îs données sont //, d ---- o, r = o ;

et les résultats sont les suivants

Il ^ n[n — 1),

te ^= 'Sn [n — 2), .

Les mêmes formules permettent aussi d'expliquer un paradoxe apparent. Concevons une courbe, en apparence la plu s simple, c'est-à-dire sans singularités; on a d=zr=^t=^w= o, et les formules donnent les égalités

évidemment incompatibles, sauf si k =z n = 2. Mais il n'y a pas paradoxe, et il se trouve simplement démontré qu'il n'y a aucune courbe d'ordre supérieur au second qui soit dépourvue de singularités.

Nous allons énumérer les diverses espèces de courbes que peut fournir le troisième ordre

Il n'y a jamais de tangente double, ce qui était évident, puisqu'une pareille droite aurait quatre points communs avec la cubique.

383. Les formules de Plûcker suggèrent une dernière remarque. Lei nombres qui sont dans les premiers membres étant toujours positifs ou nuls, il en résulte que le nombre d des points doubles ne peut jamais, en vertu de la for-

mule (69), dépasser ^ ^Miimeme -^— ^ -^ si Ion se

reporte à la formule (71). Ces deux limites sont trop élevées, et nous allons démontrer que le nombre maximum des points doubles d'une courbe d'ordre n ne peut pas sur-

passer ^ -' Il peut atteindre ce maximum,

comme on le voit, en prenant, par exemple, une cubique à point double.

En efiet, on sait que, pour déterminer une courbe d'ordre n,

il faut se donner — ^^ — points. Cela posé, nous allons,

montrer que, s'il y a plus de ^^ 7^^ — points doubles.

soit an moins

la courbe comprend une courbe d'ordre moindre, et par conséquent se décompose. A cet effet, déterminons une courbe d'ordre n — 1, en l'assujettissant à passer par d points doubles et par 2n — 3 autres points, pris sur la courbe proposée, soit en tout par

points. Les deux courbes se couperont en 2/i ' — 3-\-2d points, parce que les points doubles doivent être comptés pour deux dans l'intersection ; cela fait

points communs, c'est-à-dire un de plus que le théorème

de Bezont n'en permet à deux courbes d'ordre n et ?i — 1,

qui n'ont pas une intinité de points communs. La courbe

d'ordre n doit donc se décomposer, ou n'avoir pas plus de

{n —\){n — 2) . . , , , -^ points doubles.

.*{U4. Gf:NKE d'une courbe. — On appelle genre d'une courbe, l'excès du nombre maximum de points doubles que comporte son ordre, sur le nombre de points doubles

qu'elle possède effectivement. Nous désignerons cet excès par la lettre />.

Son introduction dans Jes formules de Pliicker leur donne un aspect plus symétrique.

= n -\- îo — 2A' f

Îi85. On appelle courbes unicursales^ celles pour lesquelles les deux coordonnées rectilignes peuvent s'exprimer rationnellement en fonction d'un même paramètre.

Théorème. — Les courbes de genre zéro sont . iinicursales ou se décomposent .

En effet, par les points doubles de la courbe donnée (G), et par n — 3 autres points lixes de (G), faisons passer une courbe (G') d'ordre n — 2, ce qui est toujours possible et d'une infinité de manières, puisque l'on n'a fixé que

points de la courbe d'ordre n — 2, c'est-à-dire un de moins qu'il n'est nécessaire pour déterminer la courbe. Les conditions qui expriment qu'une courbe passe par des points donnés étant linéaires par rapport aux coefficients inconnus de cette courbe, on aura

mi±A^^

équations linéaires entre

coefficients qui permettront d'exprimer tous ces coefficients en fonctions linéaires d'un seul, et finalement l'équation

de (C) se présentera sous la forme

S -f AS' = 0, (75)

A étant un paramètre arbitraire, et S, S', dès fonctions de degré n — 2, au plus.

Les courbes (C) et (C) se coupent en

points fixes. Elles ont donc en plus un point commun, et l'on peut profiter de l'indétermination de A pour que ce dernier point commun soit un point quelconque de (G). Cherchons les coordonnées de ce point M. Des opérations, purement algébriques, permettront d'éliminer une des coordonnées, y par exemple, et l'on obtiendra ainsi une équation de degré n[n — 2) en x\ de cette équation, on connaîtra toutes les racines, sauf une, savoir les abscisses x^^ x^, ..., Xrf, des points doubles, et celles x[, x'^^ ,.., x'„^ des points fixes donnés. Donc, en divisant le premier membre de l'équation par

[JU ' OC t j \0C 00^ y . • . [Oj OC fj 1~ [OC "^ i ) • * • l"^ ^ fi 1 / 1

il restera une équation du premier degré en x, qui fera connaître l'abscisse du point M, en fonction rationnelle de a. On aura de même l'ordonnée, ce qui démontre le théorème. On pourrait craindre que le dernier point commun, laissé iadélerminé entre (C) et (C), ne fût fixe lui-même; mais, dans ce cas, l'indétermination de a permettrait de faire passer (C) encore par un point de (C). Les deux courbes auraient alors

points communs, et auraient une courbe plane C(mimnne; (C) se décomposerail.

386. Réciproquement ^ toute courbe unicursale a son maximum de points doubles, c'est-à-dire est de genre zéro.

Supposons, en effet, que les coordonnées s'expriment rationnellement en fonctions d'un paramètre t par les formules

dans lesquelles une, au moins, des fonctions G, ôj, 69, est de degré /?, et oii l'on peut évidemment supposer les fractions irréductibles.

D'abord la courbe est bien de degré n, car ses points de rencontre avec une droite quelconque

ux -\- vy -\- 10 ^^ Ç) sont donnés par l'équation de degré n

L'équation de la courbe s'obtiendra en éliminant t entre les deux équations (76) ; ce sera