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et l'on sait que, en général, si cette équation résultante est vérifiée par un système de valeurs Xq^ ?/q, les équations (76) ont une et une seule racine commune. Donc, à tout point de la courbe (77), correspond une seule valeur de t, en général.

Le contraire pourrait cependant arriver: par exemple, si

les équations

— al'i^ | h"i Ar c"'

ne représentent pas une conique, mais uae droite parcourue deux fois, et à tout point de la droite correspondent deux valeurs de ^, reliées par l'égalité

[ab" — ha) t^t.^ + [ac" — ca") {t^ + L^] -\- bc" — cb" = o.

Mais nous allons montrer que, si tous les points d'une courbe peuvent être obtenus par plusieurs valeurs du paramètre l, on peut toujours trouver un nouveau paramètre T, tel que, à tout point de la courbe, corresponde une seule valeur de T (exception faite pour les points multiples).

Si un même point est obtenu par deux valeurs t^ et t., du paramètre, on aura bîs deux conditions

ou

Les deux fonctions R et Rj admettent évidemment le diviseur (^ — /o , mais il peut y avoir un diviseur de degré plus élevé. Soit D(^[, ^o), le plus grand commun diviseur, en sorte que

R(ï,,g==D(;,,gQ(/,,/,) /

Q et Q, ne peuvent plus s'annuler que pour des systèmes isolés de valeurs de t^ et l.,^ ce qui donnera des points doubles avec branches distinctes, puisque les valeurs de /, infmimcnt voisines de t^ et de t,, n'annulent plus R et R,. Ordonnons le polynôme D par rapport à /., :

D = Aq-{- \^('--^ + ... + A«/-~=' + ... -f- A„,.

L'un, au moins,, des coefficients Ax est de degré ))i eu /, : car, si l'on échange les lettres t^ et l.,, les polynômes R et 11, changent de signe, sans changer de valeur absolue, et par

CALCUL INFIMTÉSIMAI,. 2.")

conséquent leur plus grand commun diviseur D reste le même, à un facteur constant près. Soit Aal'un des coefficients de degré m en t^ ; les autres coefficients seront de même degré, ou de degré moindre; A sera certainement de degré moindre, parce que D, devant s'annuler pour ^., = /j, ne peut pas contenir le terme ^'" f^. Maintenant, si Ton remplace dans D, soit ^o? soit /j, par une quelconque ti des m racines de l'équation

cette équation sera évidemment encore vérifiée, et les deux équations

D(^,g = A(i,)r^' + A.,(^,)^r^ + --+Aa(^,)^r°'+--}-A,„(«.,) = o,

et

D(^,,g=A(^,-)//^+A^(^,)^r'+--+Aa(M«r"+-H-A^(^/)=o

dans les coefficients desquelles nous avons mis en évidence la variable, auront les mêmes racines en ^o ; leurs coefficients seront proportionnels, et l'on aura

Aa(^) Aa(^,-)

■A(^) A(^,) pour z = 1, 2, ...', m. Si donc on pose

le paramètre T prendra une valeur unique pour les m valeurs /j, /o, ..., t^,, c'est-à-dire pour le point de la courbe considérée.

387. Nous pouvons maintenant aborder la démonstration du théorème énoncé au numéro précédent et supposer qu'à un point quelconque de la courbe définie par les équa-

tions (76) correspond une seule valeur du paramètre t (exception faite des points multiples que nous allons rechercher). Ces points seront donnés par les solutions communes aux équations (78) : divisons R et Rj par t^ — t^, pour exclure la solution parasite Ur=it^^ nous obtenons deux nouvelles équations

symétriques en A, et ^9, et de degré n — 1 , par rapport à ces deux lettres.

Posons alors

Comme les deux équations (81) sont composées avec des termes de la forme

et que les sommes t\ + i\ s'expriment, à cause de la formule de récurrence

par des fonctions de degré k en z/, v^ la substitution (82) dans les équations (81) conduira à des équations de degré n — 1, qui auront {11 — 1)^ groupes de solutions communes. Mais tous ces groupes ne conviendront pas. En effet, pour obtenir les équations (78), nous avons dû multiplier par 6(/i), 0(/o), et si ^1 el /., annulent 0(/), le groupe correspondant doit être rejeté. Or il y a de ces groupes autant qu'il y a de combinaisons des n racines de 0(/) deux à deux, savoir

Il restera donc

{n — Ij

groupes de solutions utiles, à chacun desquels correspond un point double. La courbe a donc son maximum de points doubles; elle est de genre zéro.

388. Dans tout ce qui précède, nous avons supposé que la courbe n'avait pas d'autres singularités que des points doubles. Nous avons déjà eu l'occasion de dire qu'un point multiple d'ordre k, h tangentes distinctes, peut être considéré comme remplaçant —^ — - — — points doubles ordinaires,

et qu'un point de rebroussement de première espèce équivalait à trois points doubles dans la diminution de la classe ou du genre. On pourrait aller plus loin; mais nous nous bornerons à énoncer le résultat suivant : toute courbe algébrique, quelle que soit la nature de ses singularités, peut, par une transformation birationnelle, être remplacée, sans que le genre soit altéré, par une courbe algébrique n'ayant que des poinls multiples à tangentes séparées ^ (On appelle transformations birationnelles celles qui donnent les coordonnées d'un point quelconque de chacune des deux courbes, à l'exception de certains points isolés, en fonctions rationnelles des coordonnées d'un point de l'autre courbe.) Par de pareilles transformations, deux courbes quelconques d'un même genre peuvent se correspondre point par point. Nous allons en donner deux exemples.