COURBES GAUCHES. — SURFACES CONGRUENCES. — COMPLEXES DE DROITES
Courbes gauches
394. Dans ce chapitre et dans le snivant, nous supposerons les axes de coordonnées rectangulaires, pour toutes les questions qui concernent les angles ou les distances.
Une courbe gauche peut être définie soit comme intersection de deux surfaces dont on donne les équations
F [œ, y, z) = G, F, [oo, y, z) = o,
soit comme lieu d'un point, dont les cordonnées .r, ?/, z sont données en fonction d'un paramètre t variable, par les formules
L'élimination du paramètre t donnerait les équations de deux surfaces contenant la courbe, et, d'ailleurs, le second mode de représentation comprend le premier, en supposant
Nous pourrons donc, dans ce qui suit, supposer toujours la courbe représentée par les équations (1). En particulier, sauf avis conti'aire, les différentielles
d.i\ (ly^ (Iz
auront pour valeurs respectives
-r- dt, -<- dt, V,- dt.
De même cPx = -— dfi, d-y = ... etc.
et
On appelle ordre d'une courbe gauche le nombre de ses points d'intersection avec un plan quelconque.
Un grand nombre des considérations relatives aux courbes planes s'étend, sans modifications, aux courbes gauches; nous commencerons par les passer en revue.
395. Différentielle de l'arc. — La longueur d'un arc de courbe se définit exactement comme nous l'avons fait pour le plan ; il n'y a qu'une variable de plus. Il en résulte immédiatement, pour la différentielle de l'arc, la formule
ds^ = dx'^ -\- c/î/2 | dz^. (2)
396. Tangente. — La droite qui passe par un point M [x^.y,z) de la courbe et par un point M' [x -\- à^, y + Ay, z -\- As) très voisin, pris sur la môme courbe, a pour équations
ùi.x Aï/ A^
Lorsque M' tend vers M, la sécante a pour position limite la tangente en M, cette dernière droite a donc pour équations
dx dy dz
Ces deux équations peuvent aussi s'écrire
It JI ^
Si la courbe était donnée par les deux équations
il faudrait différentier, pour avoir dx^ dy^ ds, ce qui donnerait
:r— asc A- T— cil/ -\- ■^— ctz ^ o j
"H dx -A- ^ du 4- -r-^ dz = o \
L'élimination de dx, dy^ dz^ entre ces équations et les équations (3), se fait en remplaçant dans (4) les diflérentielles, par les valeurs proportionnelles tirées de (3) ; on trouve ainsi immédiatement
Chacune de ces équations représente un plan, et l'intersection de ces deux plans est la tangente à la courbe. Si
'bx ^y <)^
la tangente est indéterminée, et le point de la courbe est dit singulier. Nous n'étudierons pas les points singuliers dans les courbes gauches ; le lecteur trouvera sur ce sujet des indications utiles dans le tome I du Traité d'analyse de M. Emile Picard.
Î597. Les .cosinus directeurs de la tangente, c'est-à-dire les cosinus des angles, que fait la tangente avec trois axes rectangulaires, sont proportionnels aux dénominateurs qui
^MX^
figurent dans les formules (3). On a donc :
ces g cosfj CCS Y Vcos^ a -j- cos'^ p + cos^ Y 1
dx ~~ dy ~ dz ~ ~ y/t/^.2 ^ ^^2 [ ^^2 ~ ~ ds
ou, en choisissant pour sens positif, sur la tangente, celui dans lequel croissent les arcs
dx^ , dy dz
cosa = -- cosfc = -, cosY = ^- (6)
Ces formules pouvaient aussi s'obtenir par des considérations géométriques, comme les formules (64) du chapitre précédent.
398. Plan normal. — On appelle plan normal à une courbe gauche en un point le plan perpendiculaire à la tangente en ce point. Comme, lorsque les axes sont rectangulaires, la perpendiculaire à un plan a ses cosinus directeurs proportionnels aux coefficients de X, Y, Z dans l'équation du plan, on voit que l'équation du plan normal au point M(.j-, y, z) est
P = {\ — x) dx + (Y — y) dy ■\- (Z — z] dz = o. (7)
L'intersection de ce plan et du plan normal infiniment voisin s'appelle la droite polaire ; elle est déterminée par l'équation (7) et par réqualion
P + rfP :z= o, ou encore
c^P = (X — x) d^x + (Y — y) dhj + (Z — z) d^-z — ds-' = o. (8)
Si on appelle q, y;, l, les angles que fait cette droite avec les axes de coordonnées, on aura
ces ; ces -f] ces l
lydJ'z — dzd'y dzd-x — dxd^z dxd'y — dyd-z
Le lieu des droites polaires d'une courbe s'appelle la surface polaire.
399. Courbure. — Vangle de contingence est encore ici l'ang'le de deux tangentes infiniment voisines, et la courbure ., la limite du rapport de cet angle à l'arc. Calculons ces éléments.
La tangente au point x -\- dx, y -\- dij^ z -\- dz, a pour équations
. X ■ — X — dx Y — y — dy Z — z — dz
dx -\- d'X dy -{- d^y dz -j- d-z
Or, si deux droites ont pour équation
abc leur angle V s'obtient par la formule
. ,, \/(bc' — cb'V 4- (ca' — ac']'^ -\- iab' — ba')-
sin V = -^ =•
On aura donc, en appliquant la formule précédente aux équations (3) et (10)
. ,. \/{dy'Pz — dzd'^y)' -(- [dzd'x — dxd-xY-\- [dxd-y — dyd-xY
~~ \/{dx^ 4- dy'- + dz-')[{dx -|- d^vy' -f- [dy + dhjy- H-(^^+ ^"^
Si l'on remarque que sinV et V ont la même valeur principale, et qu'au dénominateur f/-j: est négligeable devant dx, d'y devant dy, d'~z devant dz, on trouve pour la courbure
V \{dyd-z—dzd-y)--{-{dzrPx — dxd-z]--\-[dxd'h/—dyd-x)- .
'^ds^ ^^clx'-\-dy'^-^dz-^f
CALCUL LNFINITÉSIMAL. 26
On retrouve au numérateur des binômes déjà rencontrés (9); nous adopterons, pour désigner ces binômes ou plutôt leurs quotients par dt^, une notation spéciale. Nous poserons
A = y'z" — z'y\ B = z'd' — x'z'\ C = x'ij" — tj'x". (12)
La courbure s'écrira ainsi
,^(AiiBl+Ç^, ^ (i3)
et son inverse, que nous appellerons encore rayon de courbure, aura pour expression
enfin les équations (9), qui définissent la direction de la droite polaire, deviendront
COS^ ces 71 cosil 1 ,.„>
Remarquons en passant que la formule (14) est tout à fait l'analogue de la formule (65) du chapitre xvii, si l'on prend s comme variable indépendante. On a en effet, dans ce cas
et en différentiant
Puis, à cause d'une identité connue,
= (,.;c'2 + 2/'2 + z'^) {x'"" + y'"" + ^"') — {oo'x" -f y' y" + z'z"Y
D'où
R5=(sî) +(S?) +(rfj)- ('8)
400. Différence entre un arc infinoient petit et sa corde. — Le calcul fait au n° 371 pourrait être reproduit ici textuellement; il n'y aurait qu'à écrire une variable de plus. Le résultat est donc le même :
0 =^ ^ âW. (17)
Du plan taii<|ent et de la normale à une surface
