Sur une surface (S) qui a pour équation

traçons une courbe quelconque; il suffira, pour la déterminer, d'adjoindre à l'équation précédente la suivante

et la tangente à cette courbe en un point M(x, y^ z) sera donnée par les équations (5). Quelle que soit F^ (X, Y, Z), cette tangente sera toujours dans le plan

dX- UU C'-ij

qu'on appelle le plan tangent en M à la surface (S) : c'est le lieu des tangentes à toutes les courbes tracées sur la surface et qui passent en M.

402. La perpendiculaire à ce plan, au point M, s'appelle la normale; elle a pour équations

()aî c)J/ ^Z

403. Si l'on prend x ç^i y comme variables indépendantes, et si l'on pose

ox oy

la différentiation de l'identité

F [x, y, ^) = G, faite en supposant successivement y et x constants, donne

ÎF , :)F ^F , W

et l'équation du plan tangent devient

Z — z = p{X~x)^qÇÏ — y). (19)

Les équations de la normale sont dans le même cas

405:. Enfin on peut, en introduisant des coordonnées homogènes, obtenir une dernière forme utile. L'équation de la surface peut s'écrire, en multipliant au besoin par une puissance de /,

fi^'c, y, z, t) =0,

le preaiicr membre étant une fonction homogène en x, y, z, i de degré ?u; il en résulte, en vertu de l'identité d'Euler relative aux fonctions homogènes,

dx du C^z di

Or le plan tangent au point dont les coordonnées sont

-' -5 - a pour équation

'X x\ df , /Y y\^r , ('/. z^ ^1 = 0,

T ij-:}.z

OÙ à cause de riclentité précédente,

405. Le plan tangent devient indéterminé, si les trois dérivées ^^ ^^ ^ sont nulles au point x, y, :;, t. Ce point

vX cil ôZ

est alors àii point singulier. On peut encore se proposer de trouver le lieu géométrique des tangentes en ce point. La méthode que nous allons employer nous donnera directement l'équation du plan tangent sous la forme (20).

On sait qu'une tangente au point M est la limite des positions d'une sécante qui passe en ce point, lorsqu'un deuxième point d'intersection de la sécante avec la surface vient se confondre avec le premier, suivant une loi déterminée, d'ailleurs arbitraire. Soient alors x, /y, z^ t les coordonnées homogènes du point M et X, Y, Z, T celles d'un point courant de la sécante qui passe en M; on sait qu'un autre point M' quelconque de la sécante pourra être considéré comme ayant pour coordonnées

,^' = a7 + ÀX, ^' = ?/ -}- XY, ..., t'=zt-\-li:, et, si ce point est sur la surface, on aura identiquement /•(^^ + XX, y + >^Y, .- + XZ, t-\-XÏ) = o. Développons cette équation par la formule de ïaylor :

Le premier terme est nul par hypothèse; l't'qualion précédente, considérée conime déterminant les valeurs de X d'où résulteront les coordonn('es .r', //, z\ t' des points M' communs à la surface et à la sécante, a une racine nulle en X,

ce qui était facile à prévoir. Pour qu'une seconde racine soit nulle, il sera nécessaire et suffisant que le coefficient de A soit nui ; on retrouve ainsi l'équation (20) du plan tangent. Si ce plan est indéterminé, le point sera singulier. Supposons toutes les dérivées partielles nulles jusqu'à l'ordre n exclusivement ; a" se trouve en facteur ; toute sécante qui passe en M coupe la surface en n points confondus avec M; le point M est dit multiple d'ordre n. Pour qu'un nouveau point vienne se confondre avec les précédents, il faut et il suffit que

Celte équation symbolique est celle d'un cône de degré n contenant toutes les tangentes au point M.

Théorie du contact

-406. Le principe de la théorie est le même que pour les courbes planes. Nous laisserons de côté le contact de deux surfaces.

Deux courbes planes ou gauches, ou une courbe et une surface, ont un contact de n""" ordre, lorsqu'elles ont en commun ?i + 1 points infiniment voisins. Si ^q, /q + ^i^o» /q -{- A^o, •••5 ^0 + ^n^o définissent n -+- 1 points de la courbe gauche (G), il faudra exprimer que les points ainsi définis sont sur la deuxième courbe (C) ou sur la surface (S).

Examinons d'abord le cas de deux courbes (C) et (C), et supposons (C) donnée par les équations (1), (C) par les relations

En remplaçant dans ces équations x, //, .z par/|(/), /^{f)^ /o (/) respectivement, on obtient deux équations

et les conditions

<f [t, + A,-^o) = O' 'h (^0 + Mo) = 0, (z = 1, 2, ... î^)

se transforment, comme dans la théorie du contact des courbes planes, en

Y {t,) = o, ri{to) = o . (23)

S'il s'agit du contact de la courbe (C) et de la surface (S)

il est évident que la même méthode s'appliquera et que les conditions seront

•HO^O, f(g=:0, ..., Y')lt,)=0.

Il résulte de là que, si x^, //^, z^, sont des valeurs des variables déterminées par une valeur l^ du paramètre, inliniment voisine de ^q, l'expression F {x^, yj, z^) sera inliniment petite d'ordre /i + l, par rapport a l'accroissement de t. On aura en effet identiquement, à cause des relations précédentes,

F(^n.yo^.) = 'f (^i) = -^ {to + ^t)

Il faut remarquer que, si le point est ordinaire sur la courbe gauche, à.t est du même ordre que l'arc infiniment petit de cette courbe.

407. Nous démontrerons encore que, par analogie avec le cas des courbes planes, lorsqu'il y a, en un point ordinaire M, contact du ti""" ordre entre deux courbes gauches, ou entre une courbe et une surface, ou peut trouver sur les deux hgures correspondantes deux points N et Nj, inlini-

ment voisins de M, et tels que leur distance soit d'ordre n -\- 1 au moins par rapport à MN. Nous distinguerons deux cas :

V Cas de deux courbes (C) et (Cj)

y = f{x), .2- = cp [x), (C)

Soient .Xq, ^q, les coordonnées du point M de contact, x, y, z, celles d'un point N de (C), ^j, y^, Z|, celles d'un point Nj de (C,). Nous supposerons que la tangente au point M ne soit pas parallèle au plan soy; MN se projette alors suivant un infiniment petit x — x^ de même ordre. Prenons le point Nj, de manière que

On aura évidemment

Or on voit, comme au chapitre précédent, n° 336, que

a> U» — '^[oc.

A^ ^ — '■ — \<ui''^\)(x \ a^"+^Hx 114-

Donc NNi est bien du [n -\- 1)°" ordre au moins par rapport h X — a^o ou à MN.

La réciproque se démontre comme pour les courbes planes.

2° Cas d'une courbe (G) et d'une surface (S), ayant pour équations respectivement

y=zf{x], z = ^[x), (C)

Soient encore .i-q, y^, ^O' ^^^ coordonnées du point M commun aux deux ligures; ^, y, z, celles d'un point N de (C); j:,, y,, Zj, celles d'un point N^ de (S). Nous pouvons encore

supposer que la tangente au point M à (C) n'est pas parallèle au plan zoy^ et, par suite, que MN est de même ordre que X — x^y D'ailleurs les équations de (C) donnent

d'où il résulte que // — y^ et s — Sq sont de l'ordre de X — ^Q, si les dérivées /'(^o) ^^ ?'(^o) ^'^ '^otA pas nulles, ce que nous supposerons. Prenons le point N^ de manière que

^1 = ^, .Vf = y- Alors