NN, = I

Or

= >^ (x) — F [x, f[x)] = ']^ (.->;) = ^ (a^o + x — x^) et

Par hypothèse, il y a contact du /i""' ordre, c'est-à-dire que

La différence s — z^ est donc d'ordre n -{- i-, au moins par rapport à ^ — Xq, ce qui démontre le théorème.

La réciproque est évidemment vraie : si une courbe (G) et une surface (S) ont un point M commun, et s'il existe sur (G) un point N, sur (S) un point Nj, tel que NN, soit infiniment petit d'ordre n -\- i, par rapport à MN, la courbe et la surface ont un contact du it^^ ordre. Il suffit, pour le voir, de prendre oz parallèle à NNj.

408. Ce qui précède suppose, comme dans le contact des courbes planes, que le point .M soit un point ordinaire sur

(G) et sur (S).

Oscillation

4r09. On dit qu'une courbe ou qu'une surface sont osculatrices avec une courbe gaucbe donnée lorsqu'elles ont avec cette courbe gauche le contact de l'ordre le plus élevé compatible avec le nombre d'arbitraires qui figurent dans leur définition. Comme application de la théorie du contact, nous allons chercher les figures les plus simples osculatrices à la courbe gauche (1).

4:10. Droite osculatrice ou tangente. — Les équations d'une droite renferment quatre paramètres ; on pourra donc l'assujettir à quatre des conditions (23). La droite a pour équations

\ =z as -\- a,

si elle doit être osculatrice à (G), au point a?, y, s, on aura les conditions suivantes, dans lesquelles x\ y\ s', désignent toujours les dérivées par rapport à t :

X ^ az -\- a,

y = hz + i^,

y'=bz'.

On en tire

Ce sont bien les équations de la tangente (3).

Plan oscillateur