Les équations d'une circonférence
(X - a)-^ + (Y - P)2 + (L - yf = R^ « (X - a) 4- 6 (Y - {i) + c (Z - y) = O,
contiennent six paramètres; on pourra donc écrire les six premières conditions (20), ce qui établit un contact du second ordre,
{œ - y:f + (t/ - py ^{z- yy = r^
:c' {x — a) + ]./' {ij — fa) -^ z' [z — y) = o
oo" [x-a)-\- y" {y - p) + z" [z - y) + x'^ -f y"' + z''^ = o
ax' -f- by' -f- cz' = o
ax" 4" hy" 4" ^^" = o
Les deux dernières montrent que «, ô, c ont précisément pour valeurs A, B, G, c'est-à-dire que le plan du cercle osculateur est le plan osculateur; les trois précédentes détermineront a, (i, y; les deux premières d'entre elles expriment que le point a, (r), y, se trouve sur la droite polaire. On peut donc énoncer en passant ce théorème : Le centre du cercle osculateur est à r intersection du plan osculateur et de la droite polaire. Il résulte aussi des for^ mules (15) que la droite polaire est perpendiculaire au plan osculateur : la droite polaire est Vaxe du cercle osculateur ; on l'appelle souvent axe de courbure. Calculons maintenant a, 3, y; on tire aisément des équations (26) :
Cy' — B^' "~ A^' — Ox' Bx' — \y'
x" {Cy' — Bz') + y" {Xz' — Cx') + z" [Bx' — Ay')
Le dernier membre est égal à
Le centre du cercle osculateur est donc donné par des formules relativement simples, qui se déduisent par permutation de la première
On en déduit
, jx'-^ + y'-^ + z'-^)^ ^ A2 + B2 -I- C^ '
c'est-à-dire la même valeur que pour le rayon de courbure (14). Le cercle osculateur peut donc encore être appelé cercle de courbure, son rayon, rayon de courbure, et son centre, centre de courbure.
Ti'ièdre nioï>ile
4i:j. On appelle normale principale en un poinl d'une courbe gauche, celle des normales à la courbe qui est située dans le plan osculateur en ce point. La normale principale passe donc au centre de courbure.
Nous ])ouvons maintenant définir trois droites deux à deux rectangulaires et parfaitement déterminées en chaque point de (C), ([ue nous prendrons comme axes de coordonnées mobiles avec le point de la courbe : Taxe des x sera la tangente à la courbe comptée dans le sens des arcs croissants ; l'axe des y, la normale principale comptée vers le centre de courbure ; l'axe des z, la perpendiculaire aux deux pnuniers; cette perpendiculaire est parallèle à la droite polaire et a reçu le nom ih' h'inorinalc.
On définit le sens de cette dernière droite par la condition que le trièdre mobile puisse être amené à coïncider avec le trièdre des axes fixes; en d'autres termes, la binormale est orientée par rapport à la tangente et à la normale principale comme Oz l'est par rapport à Ox et à Oy.
Nous avons déjà calculé par les formules (6) les angles a, |3, Y, de la tangente avec les axes fixes, et par les formules (9), (15), les angles ;, -q, 'Ç, de la binormale avec les mêmes axes. On en déduira facilement les angles directeurs X, \)., V, de la normale principale [qui d'ailleurs résulteraient aussi des formules (27)], par les formules
ces X = cos -q ces Y — cos Ç ces [3, ces [x = cos ^ cos a — cos l cos y,
cos V =: cos l cos [5 — COS T, COS a.
Toi'sioli
414. Il existe, entre les différentielles de ces divers angles, des relations que nous établirons bientôt ; mais il importe de définir d'abord un dernier élément capital dans l'étude des courbes gauches. Nous voulons parler de la torsion ou seconde courbure.
On comprend, en effet, que la courbure ne peut servir à différentier les courbes planes des courbes gauches ; le caractère de ces dernières étant d'avoir, en chaque point, un nouveau plan osculateur, il était naturel d'introduire, comme élément fondamental, l'angle de deux plans osculateurs infiniment voisins, ou mieux le rapport de cet angle à à l'arc infiniment petit correspondant. C'est ce rapport que nous appellerons torsion et que nous désignerons par la lettre t : nous allons la calculer.
Soient (25)
les équations de deux plans osculateurs infiniment voisins. Leur angle à sera donné par la formule
. , , (B^C — CclB)^ -f [CdA — AdCy -\- [AdB — Bdky- «"1^ Y — (AH- B2 + C^) [(A + dA)-' + (B + dB)^ + (G -]- dCy^]
ou comme '\i et sind; ont la môme valeur principale
Or
2 S (Bc^C — CdB)""
c^A := {y'^'" — ^'y'") cit.
Si donc on pose
ce
on voit que les binômes qui figurent au numérateur de d;^ seront, au facteur dt près, les mineurs du déterminant adjoint de D ; leurs valeurs seront donc, d'après un théorème connu,
BdC — CdB = x'Ddi, Cdk — AdC = îj'Ddt, AdB — Bc/A z=z z'Ddt.
On en déduit
"" "~ ds A^ + B--^ + C-
Remarquons que les équations des deux plans osculateurs infiniment voisins peuvent s'écrire
QdC — CdB ~ CdA — AdC ~" AdB — BdA'
OIT, d'après ce qui précède,
La tangente en un point est donc l'inlerseclion du plan osculateur en ce point et du plan osculateur infiniment voisin.
415. Les courbes planes ont pour plan osculateur leur plan : leur torsion est donc nulle. Mais sont-ce les seules courbes pour lesquelles on a
Pour répondre à cette question, je supposerai que la variable indépendante soit x :
La condition précédente se réduit donc à
d}y cV^z (Py d'z
dx"^ dx^ dx'^ dx^ '
ce qui peut s'écrire :
dx^ dx^
■ ^ ~'(ÏÏ~z' dx''- dx^
En remontant aux fonctions primitives, on trouve
dx'^ dx'^^
puis
y =z Cz -\- C^x + Ca.
dy ^ dz ^ dx dx ^ '
Les courbes planes sonl donc les seules pour lesquelles la torsion soit nulle en tous les points. Les points d'une courbe gauche pour lesquels la torsion est nulle sont dits points où le plan oscillateur est stationnaire. Ils sont les analogues des points d'inflexion dans les courbes planes.
416. En général, la distance d'un point M' d'une courbe gauche au plan osculateur en un point M infiniment voisin, est un infiniment petit de troisième ordre par rapport à l'arc MM'. En effet, soient x + Aj:, y 4- Ay, z -f As, les coordonnées du point M'; sa distance au plan osculateur, dont l'équation est
A(X - X) + B(Y - ?/) + C (Z - z) = 0, sera
. I AAa;-f BA.v -\- C^z \ ° ~ V A2 4- B-' + C
Or la formule de Taylor donne
Ax = dx -f- - fPx -)- - d'^x -\- ...
ày = dy -f ...
A3- = dz -f ...
et comme par hypothèse
kdx -f- ^dy + ^^-dz = 0, kd^x -f \^d-y 4- Cd:^z = o,
il reste
1 I ArRr + x^dhj + i:d:'z + ... I
