VA=^ + B--^ 4- C

Mais

d'-h: = x"'di-\ d-\i/ = y"'dl\ d'^z = z"'dt^ :

la valeur principale de c est donc

5 = i I A.--" + By- + C.- I „,, ^ 1 I D i ,„,

|> v'A'' + is' + '•' •> Va- + B- + 1;-

r.AI.CUr- INFINITÉSIM.VL. "11

Elle est bien du troisième ordre. Aux points où le plan oscillateur est stationnaire, sa distance au point infiniment voisin devient d'ordre supérieur au troisième.

Pour les points ordinaires, on peut donner un aspect plus géométrique à la dernière formule, en introduisant dans o la courbure et la torsion. Un calcul immédiat montre que

0=1 I /f,T I ds-K

Cette distance changeant de signe avec r/.s, la courbe traverse le plan osculateur.

Hepréseii ta tîoii spliéri€[ue

Relations entre les différentielles des cosinus

directeurs du trièdre mobile

417. Dans ce qui va suivre, nous désignerons par a, [i, y, X, [j., V, ç, r,, 'C, les cosinus des angles, qui étaient jusqu'ici (n° 414) représentés par les mêmes lettres, c'est-à-dire que nous écrirons a au lieu de cos a, et ainsi de suite.

Les formules de Frenet^, que nous allons établir, se démontrent très aisément à l'aide de la représentation sphérique. Soit o le centre d'une sphère de rayon un; par ce centre menons une parallèle à la tangente MT au point M de (G), et dans le sens choisi comme positif sur la tangente. Cette parallèle percera la sphère en un point m qui est déterminé par la tangente en M et qui la détermine sans ambiguïté. Ce point m est la réprésentation sphérique de MT, et le lieu de 7n s'appelle V indicatrice sphérique'^- ; les coordonnées de m sont évidemment a, jS, y. La tangente au point M' infiniment voisin sera représentée par le point m' de coordonnées y. + da, ^ -\- d^, v -h dy^ de sorte qu'on a

1 On donne aussi parfois à ces formules le nonyde Serret, ce géomètre les ayant obtenues, de son côté, peu de temps après Frenet.

- L'indicatrice sphérique d'une courbe plane est un grand cercle, et réciproquement.

immédiatement pour la courbure

1 arc mm

K ~ arc MM'

Remarquons, en outre, que la droite mm est à la limite perpendiculaire à om, et qu'elle est dans un plan parallèle à om et à om', c'est-à-dire à deux tangentes infiniment voisines : mm est parallèle au plan osculateur et, par suite, à la normale principale. Ecrivons cela, en prenant pour sens de la normale celui de m vers m\

d'où

(h. f/p (.h[ ds

dx = l ^^ dp = [J- ^' f^Y = ^ îï • (^0)

Ce sont les premières formules de Frenet.

Représentons maintenant sphériquement les droites polaires en menant on, on' parallèles à ces droites ; nn' mesurera l'angle de deux droites polaires, et l'on aura