MM

De plus le plan onn\ étant parallèle aux deux axes de courbure, est perpendiculaire aux deux plans osculateurs infiniment voisins et, par suite, à leur intersection, c'est-àdire (n° 414, Remarque), à la tangente, et comme nn' est perpendiculaire à la droite polaire, ou parallèle au plan osculateur, elle est encore parallèle à la normale principale. Les coordonnées de n étant 5, r,, Z, et celles de ;/ ; + (/:, •/] -h (/-q, 'Ç -\- r/j3, le parallélisme dont il vient d'èire question se traduira par les conditions

dl dri dX,

— =r ^ = = T . as. (01 )

C'est le second groupe des formules de Frenet, et il en

résulte, pour le signe de t, une détermination précise que n'avait pas fournie la Formule (29). Il reste à calculer r/X, d\j., dv.

Or le trièdre mobile ayant rorientation convenue, on a

a = a; — yç ;•

Nous en déduirons les différentielles; il suffit de faire le calcul pour la première

dX = yly + ydr, — pdC — HdH.

Cette égalité devient, à cause des formules (30) et (31),

dk z= T^y — -\- ytj.TdS — pMzds (,[i.

dl = ''^'^ ~ ''•" ds -\- (va — [3v) Tds.

Mais on sait que dans le déterminant

chaque élément est égal au mineur correspondant, pris avec son signe; c'est ainsi, par exemple, qu'ont été écrites les équations (32). On aura donc aussi

a =- [jX

vq,

32 bis]

ce qui permet de simplifier la formule (33) et d'écrire détinitivement (en écrivant aussi par analogie les valeurs de du. et de f/v)

T,T 1 ds

Ces équations avec (30) et (31) constituent le groupe complet des formules de Frenet.