f e^-^ pour j
On a
1 + eh
et le rapport (i) a pour expression
1 + fii
Or, ce rapport a pour limite zéro lorsque h tend vers zéro par des valeurs positives, et il a pour limite 1 lorsque h tend vers zéro par des valeurs négatives. La fonction proposée n'a donc pas de dérivée déterminée pour ar = 2.
CALCUL nCPINITiaillAL. 3
35. On a signalé, dans ces derniers temps, des fonctions continues dont la dérivée n'est déterminée pour aucune des valeurs de la variable comprises dans un intervalle fini. Mais ce sont là des fonctions anormales qui ne jouent aucun rôle dans les applications et dont il ne saurait être question dans cet ouvrage. Nous ne considérerons que des fonctions ayant une dérivée déterminée, sauf pour certaines valeurs isolées de la variable.
Mais avant d'étudier les règles de la dérivation, nous devons faire connaître quelques propriétés des dérivées qui offrent un grand intérêt.
Principe de KoUe
36. Si F[x) s'mmule pour x = a et pour x = b^ et si sa dérivée F'[x) est déterminée pour toute valeur de x comprise dans rintervalle [a, A), il existe^ dans cet intervalle^ au moins une valeur de x pour laquelle la dérivée F[x) est égale à zéro.
En effet, V{x) admet certainement dans Tintervalle (a, b) des valeurs différentes de zéro ; car, si elle était constamment nulle dans cet intervalle, il en serait de même de sa dérivée, et le théorème serait démontré.
Supposons, par exemple, que F (./•) admette des valeurs positives dans Tintcrvalle (a, b), et considérons la plus grande F (c) de ces valeurs positives; la quantité c, qui, d'après sa définition, appartient à Fintervalle («, ô), ne saurait être ni a ni A, car F [c) est positif, tandis que F {a) et F [b) sont nuls. Donc, si Ton désigne par h un nombre positif tel que c — h et c -f-/i appartiennent à Tintervalle («, ô), les différences F (c — h) — F (c), F(c + A) — F {c) seront négatives et par suite les rapports
seront, le premier positif, l'autre négatif. Mais, puisque la fonction ¥[x) admet pour x = c une dérivée déterminée, les
deux rapports en question doivent tendre vers une limite commune lorsque h tend vers zéro. D'ailleurs, Le premier, qui est positif, ne peut tendre que vers une limite positive ou nulle, et le second, qui est négatif, ne peut avoir qu'une limite négative ou nulle ; donc cette limite commune est nulle et Ton a F' [c) = o.
Cette proposition attribuée à Rolle est d'une grande utilité en analyse, notamment dans la théorie des équations.
Théorème des accroisscniciits liais
37. Si F{x) et ç(x) ont des dérivées déterminées dans Viniervalle («, A), et si <^*{x) ne s'annule pas dans cet intervalle^ on aura
Vib) ~ Via] ^ F7£) .
c étant un nombre convenablement choisi entre a et b. En effet, la fonction
•s'annule évidemment pour ^ = a et pour j:^ô. D'ailleurs, pour toute valeur de x située dans Tintervalle («, b), elle a une dérivée déterminée, car on a
Donc, d'après le théorème de Rolle, cette dérivée s'annule pour une certaine valeur c Aq x comprise entre a et A ; de là résulte la relation
«,, . F [b] — Yia) , . .
et par suite la relation (4), que Ton déduit de la précédente en divisant par la quantité ^' [c] qui, par hypothèse, n'est pas nulle.
38. On écrit souvent cette formule d'autre façon. On peut toujours poser :
j, a = a?, b z= X + h et c = x + ^h ;
l> A étant ici un nombre fini d'ailleurs positif ou négatif, et ^
I- un certain nombre, inconnu, mais compris entre 0 et 1 ; la
P formule (4) devient ainsi
Fix-^-h) — V jx) ¥'{x + bh)
B * ix + h) — <p [x] f^' [X -}- 6/;) ^ '
Dans le cas particulier où 9 (./•) =: x, on a
F (x + h) — F (x) — hF' [x + bh), (0)
relation fondamentale à laquelle on donne le nom de formule des accroissements finis ; on voit qu'elle suppose F [x] conl tinuc, mais non F' [x), qui n'est astreinte qu'à avoir des
valeurs déterminées entre .r et j:+ //.
C;oiisiM|iioiice i*<4ative st deux fouetious avaui la niéiiie ilérîvée
39. On a vu que si une fcmction est constante dans un certain intervalle, sa dérivée est nulle dans le môme intervalle.
La réciproque est vraie et résulte immédiatement de la formule (6).
En effet, soient x et .r + A deux valeurs quelconques comprises entre a et b, et supposons F' (,r) constamment nulle % dans l'intervalle (rt, b) ; le second membre de la relation (6) sera nul, et par suite on aura :
ce qui prouve que la fonction F [x) a la même valeur pour deux valeurs quelconques de x choisies à volonté dans Fin-
tervalle («, b). Ainsi, lorsque la dérivée F' [x) dhtne fonction est constamment ntdle dans un intervalle («r, é), la fonction est constante dans le même intervalle,
40. Il suit de là que si deux fonctions f [x) et 9 [x) ont des dérivées respectivement égales pour toutes les valeurs de X comprises dans un intervalle {a, b), leur différence reste constante dans cet intervalle.
En effet, en posant 'l {x) = f {x) — ^ (,/•), on a
or, par hypothèse, 'V [x] est nulle pour toutes les valeurs lie X comprises entre a et b ; donc 6 [x] est constante dans rintervalllî [a^ b).
On énonce plus rapidement ce théorème en disant que deux fonctions^ qui ont la même dérivée^ ne peuvent différer que par une constante,
W. On entend par fonction primitive (n'' 5) d'une fonciicn/ {x) une fonction assujettie seulement à admettre f {x pour dérivée.
Soit F (./•) une fonction primitive de / (x). L'expression
où C désigne une constante quelconque, sera encore (n** 33, 3*) une fonction primitive de / [x]. Réciproquement, toute fonction primitive de / (r), ne pouvant différer de F [x] que par une cpnstante (n* 40), résultera de (7) par un choix convenable de la constante C.
Veut-on, par exemple, la fonction primitive qui prend la valeur A pour x = a? on choisira C de telle sorte qu'on ait
F (a) -t- C =. A, ce qui donne
C = A — F (a), et par suite
pour la fonction primitive demandée.
En particulier,
sera celle des fonctions primitives qui s'annule pour x=a.
42. Ainsi, en revenant au problème des quadratures et désignant par a Tabscisse Oa de l'ordonnée fixe aA (n* 4), comme Taire du trapèze mixtiiigne aAMjjL s'annule pour a; === a, on obtiendra l'expression de Taire de ce trapèze en cherchant une fonction primitive F [s) (n'importe laquelle) de la fonction / (.r) qui exprime Tordonnée courante |jlM do la courbe PQ, puis retranchant de F (.r) sa valeur F [a) pour X =^ a.
Fonction croissante on décroissante
43. On dit qu'une fonction f (x) est croissante dans un intervalle donné (.r^, X) si, pour tout système de deux valeurs a et * prises dans cet intervalle, l'inégalité
entraine
Si, au contraire, Tinégalité (9) entraîne
la fonction est dite décroissante dans l'intervalle considéré.
Pour qu\ine fonction continue f[x) soit croissaïUe dans un intervalle (>q, X) il faut et il suffit que sa dérivée soit constamment positive dans cet intervalle^ sauf pour une ou plusieurs valeurs isolées de x qui annulent cette dérivée,
La condition est nécessaire : En effet, puisque la fonction
est croissante dans l'intervalle {xq, X), le rapport
fit) -fia) b — a
est positif. Donc, sa limite lorsque, a restant fixe, b tend vers a, c'est-à-dire /' («), est positive ou nulle. Ainsi pour toute valeur a comprise entre jtq et X, la dérivée /' {x) est positive ou nulle. D'ailleurs, elle ne saurait être nulle pour un intervalle fini, compris entre Xq et X, si petit qu'il soit, vu que la fonction serait constante dans cet intervalle, tandis qu'on la suppose croissante.
Pour prouver que la condition est suffisante, nous distinguerons deux cas :
1* Supposons/' {x) constamment positive dans l'intervalle (^Q, X). Pour tout système de valeurs a ai b comprises entre Xq et X, on aura, par le théorème des accroissements finis,
c étant une valeur comprise entre « et 6 ; mais /' {c) est positif ; donc l'inégalité (9) entraîne l'inégalité (10) et par suite / [x) est croissante dans l'intervalle (j-q, X) ;
2** Supposons que /*' [x) soit positif dans l'intervalle [x^y X) sauf pour un nombre fini de valeurs qui annulent cette dérivée. Considérons un intervalle [a^ b) compris entre x^ et X et soient
a7|, a?2, a?3 ... Xk
les valeurs de x comprises entre « et i qui annulent /' (^), ces valeurs étant supposées rangées par ordre de grandeur croissante. On aura par le théorème des accroissements finis
c étant un nombre compris entre a et j:,, mais qui n'est ni a, ni x^ ; f {c) ne sera pas nul puisque, entre a ei x^^ il n'y a aucune valeur de x qui annule /' {x) ; donc /' (c) sera
positif et comme x, — a Test aussi, on aura
f{x,)—f[a)>o\ on démontrerait de môme les inégalités
fW-f{^k)>o,
d'où Ion tire par addition
ce qui prouve que / [x) est croissante dans Tintervalle (jt^, Xj» puisque a et A sont choisies à volonté dans cet intervalle.
On démontrerait d'une manière analogue la proposition suivante :
Pour qu'une fonction conihiue f {x) soit décroissante dans un inten:alle (^q, X), il faut et il suffit que sa dérivée soit constamment négative dans cet intervalle^ sauf pour une ou plusieurs valeurs isolées de x qui annulent cette dérivée.
