Voici quelques exemples simples

1* Soit proposé de calculer la dérivée de a;", l'exposant m étant supposé entier et positif.

La formule du binôme

donne :

La dérivée de jr"' est donc égale à la limite du second membre, lorsque h tend vers zéro, c'est-à-dire à

wo?'"-*. (3)

2** Cherchons la dérivée d'une somme. Soit la somme

F (X) = V, (x) + V,{œ) + ... + F„ {œ) = SF^ {x). On a ici

F(a; + h)- F{x) yi F;, (> + h)^ V, Ix) h -^ Zj h

et à la limite, lorsque h tend vers zéro,

Donc la dérivée d'une somme est égale à la somme des dérivées.

La démonstration suppose que chacune des fonctions F|(j7), ¥o{x)..., ¥„{x) qui composent la somme F (y) ait une dérivée déterminée pour la valeur de x que Ton considère. Mais le théorème le suppose aussi ; son énoncé serait vide de sens dans le cas contraire ; il est donc inutile de l'alourdir en y introduisant cette restriction.

3* La dérivée d'une constante C est nulle, puisque le numérateur du rapport (1) est alors égal à zéro quel que soit h.

32 chapitrp: m

Il suit de là que la dérivée de C + 9 (./ ) est 9' {x) ; en d'autres termes, hs constantes additives disparaissent dans la dérivation.

Au contraire, les facteurs constants subsistent; en d'autres termes, la dérivée de C9 {x) est C9' (./•) ; car ici la constante C se trouve facteur commun dans les deux termes / (.r -f- A) ci f{x) du numérateur du rapport (1);

4** Enfin il résulte de ces observations et de la règle relative à la dérivée d'une somme, que la dérivée d'un polynôme entier

Aa;"« + Bo;"*-* +■ Ca?"'-» + ... + lia; + K est

mAa;"* -* + [m - 1) Bx'" - « + (m — 2) Co?'" -^ + ... + H

On voit qu'on l'obtient en multipliant chaque terme par l'exposant de x et diminuant cet exposant d'une unité.

Cas d'exception

l\\. Le rapport (1), lorsque h tend vers zéro, peut, pour certaines valeurs de ./•, devenir infini, ou ne tendre vers aucune limite, ou enfin admettre des limites différentes suivant que A tend vers zéro par des valeurs positives ou par des valeurs négatives. On dit alors que la fonction / {x) n'a pas de dérivée déterminée pour ces valeurs exceptionnelles de r. Voici des exemples de ces divers cas :

V Soit proposé de trouver la dérivée de / {x) = yx — 2 pour X =2^ V désignant ici la racine cubique arithmétique. On a alors

f^^ + h) = Ml fi^i) = o,

et le rapport (i) a pour expression :

Ce rapport croît donc indéfiniment lorsque h tend vers zéro.

2* Soit à trouver la dérivée de

F fa?) = a? sin — »

pour X = 0,

On a ici

FW = Asin|, F(o) =0.

et le rapport (1) a pour expression

Bill r»

qui, lorsque h tend vers zéro, oscille entre — 1 et -f- 1 sans tendre vers aucune limite.

3° Soit, enfin, proposé de trouver la dérivée de