Voici des exemples simples

!• Soit V (r) = ax + 6 ; on a F' {x) = a. Si donc a est positif, F [x) est toujours croissante, et si a est négatif, F(-'") est toujours décroissante; 2« Soit

V [x) = ax'^ + ôa? -f- c ; on a

F' [x) = 2aa? + ^•

Cette dérivée s'annule donc pour x = — — • Si a est positif, F' [x) est négative pour les valeurs d.e x moindres que — "n" ^^ positive pour les valeurs de x qui surpassent cette valeur ; donc le trinôme ax^ + to + c décroît dans l'intervalle l — oo , — — j et croît dans rintervàlle

( — p-j + 00 j>en sorte qu'il est minimum pour x = — — •

Lorsque a est négatif, c'est Tinverse qui a lieu ; F' [x) est positive pour ^ < — r-> et négative pour x > — «-' le trinôme croît dans rintervalle ( — oc, — — j et décroît dans

l'intervalle ( — — , -f- x V? il est maximum pour x = — — •

3" Soit

F [x) = ax^ -{- bx^'-^- ex + (l\ on a

F' [x) r^r 3^.r^ + UX + C.

Si b- — \iac est négatifs le trinôme du second degré F'(./') est, d'après un théorème connu, toujours de môme signe que son premier terme ; F(.r) est donc toujours croissante, si a est positif, ou toujours décroissante si a est négatif.

Si b- — 3rtc est positifs le trinôme F' (,/) s'annule pour lieux valeurs réelles de x ; désignons ces deux valeurs par 7. et 3, et soit a < 3, F' [x) est alors de même signe que son premier terme, sauf pour les valeurs de x comprises entre a et g. Donc, en considérant les intervalles,

(-oc, a), (a, p), (p, +x),

on voit que, si a est positif, F [x) croît dans les intervalles extrêmes et décroît dans Tintervalle moyen, tandis que, si a est négatif, F (j^) croît dans l'intervalle moyen et décroît dans les intervalles extrêmes. Dans le premier cas, a répond à un maximum et g à un minimum ; dans le sectmd cas, a répond à un minimum et 3 à un maximum.

D<M*ivées des foii<*tioiis simples

45- Nous donnons le nom de fonctions simples aux trois fondions : x"" {m élant entier et positif), logj:* (frétant positif) et t>inT.

Quand on connaîtra les dérivées de ces trois fonctions, les règles de dérivation des fonctions de fonction, des fonctions inverses et des fonctions composées permettront de calculer les dérivées de toutes les fonctions susceptibles d'être exprimées explicitement par les signes usités en Algèbre et en Trigonométrie.

La dérivée ./•'", m étant entier et positif, est déjà connue (u* 33); elle est égale à fnx''"'.

Il ne reste donc qu'à chercher la dérivée de logj: et celle de sin,/\