La dérivée de sinj- est la limite du rapport
sin {x -^ h) — sin x h
lorsque h tend vers zéro.
Or, la formule
sin {x + h) — sin a: = 2 sin- cos ix +5)" (2)
permet de donner au rapport précédent la forme . h
Mais, lorsque h tend vers zéro, le premier facteur tend vers l'unité et le second vers cos a:; la dérivée de sinx est donc cosx.
Dérivées des fonctions de fonctions
48. Suivant un usage généralement adopté, nous indiquerons désormais Taccroissement (positif ou négatif) d'une quantité en plaçant la lettre A devant le symbole qui représente cette quantité. Ainsi Taccroissement de la variable j-, que nous avons jusqu'ici désigné par A, sera désigné par A^*, et raccroissement correspondant
de la fonction t/—-f(^.r^ sera représenté par A/ (x) ou Ay.
Celte notation très expressive permet d'éviter la confusion, surtout dans le cas où Ton a à considérer les accroissements de plusieurs quantités.
19. Cela posé, considérons une fonclion de fonction définie par les relations
Attribuons à la variable indépendante j; un accroissement Ax\ Il prendra dès lors un accroissement lu, auquel répondra il son tour un accroissement A// delà fonction y. D'ailleurs, quand A.r tend vers zéro, lu tend lui-môme vers zéro et par suite aussi Ay. Si donc, dans Tidentité
Ay Ay Am Ad? au àx
on passe à la limite pour àx = o, et si, comme nous le supposons, les fonctions f{u) et © {x) ont des dérivées déter-
minées, le second membre deviendra
f {u) . fj/ ix),
et par suite la fonction y aura une dérivée déterminée et donnée par la formule
Donc : la dérivée (Viine fonction de fonction est égale au produit des dérivées des fonctionf^ dont elle est formée. Exemples : Si ti désigne une fonction de .r, on a
[u"^)' = mii"^''\ H (m étant entier et positif)
(sin u)' == cos w. u
(log m)' = -• m' (w étant positif).
5>0. La démonstration précédente suppose que \u ne soit pas nul pour toutes les valeurs de j* comprises entre 0 et un nombre s aussi petit qu'on veut. Mais, dans ce cas, A?/ est nul dans le même intervalle et Ton a simultanément
y = o, cp' {x) = o,
de sorte que la relation (i) est encore vérifiée et que le théorème subsiste.
5>l. Nous n'avons considéré que le cas d'une fonction intermédiaire u\ s'il y en avait plusieurs n^ r, ii\ en d'autres termes si la fonction y était définie par les relations
y = F (m), Uz=:f (t?), î> = (p (to), 10 = «1 [x),
on partirait de l'identité
\œ Am Ay At/? Aa?
d'oii, à la limite pour Aj:- = o, résulterait la relation
y' = F' (m), r (t?). 9' (îc). \' (.r)
qui s'énonce, en langage ordinaire, comme au n* 50. Exemple : Soit proposé de trouver la dérivée de
on a ICI
Donc
y = log ^sin> 1^ (5)
ce y = logu ; « = V*, i> = sin t<?, \o = -• (6)
y' = J-ât?. cosî^?. |; (7)
— -• 2 sm -• cos - - ; (8)
,x 6 6 xi
sm
et enfin
y' = |cotgf. (9)
Dans la pratique, on se dispense d'introduire w, v, xl\ c'està-dire d'écrire les expressions (6) et (7). On obtient immédiatement la relation (8) en disant :
La dérivée de y est égale à la dérivée de log ( sin^ - j
qui est -r-y- multipliée par la dérivée de sin ^ 51 qui est sin 2c %j
oc X oc
2 sin - multipliée par la dérivée de sin -» qui est cos 5
multipliée par la dérivée de 5 qui est ^.
Dérivée d'une fonction inverse
52, Soit y^fix) une fonction et j* = 5 (y) la fonction inverse. \x et \y étant des accroissements correspondants, qui tendent simultanément vers zéro, on a indentiquement
Ay " Ay'
Si donc la fonction directe y = /* (x) a une dérivée déter-
A.r minée /*' [x) et différente de zéro, le rapport — aura pour
limite 777— v ' en d'autres termes, la fonction inverse j:: = 9 [y)
aura une dérivée déterminée
Ainsi : la dérivée iViuie fonction inverse est égale à la valeur réciproque de la dérivée de la fonction directe,
