Soit le déterminant

te, z

dont les éléments «, r, i/% 5 sont des fonctions d'une môme variable x. Le déterminant considéré ici est du second ordre, mais le raisonnement et la conclusion s'appliquent à un déterminant d'ordre quelconque.

On a

F [x + Aa?)

OU, en vertu d'une propriété élémentaire des déterminants.

Au, Iv

F (a? + Aa? = ' + K

et par suite

F(a? + Aa?) — F(a?) = Aa?

11^ ùiV

ic, A^

AîP, A- [

Aa?

Aff Ar Ao; àx

Air

Aj^

Aî£ A£

Ax A:r

Aa?

Lorsque A a: tend vers zéro, les deux premiers termes du second membre tendent respectivement vers

îo\ z

tandis que le troisième terme tend vers zéro, puisqu'il est le produit de deux facteurs dont l'un a une limite

ti . V

finie

tr,

et dont l'autre tend vers zéro.

(•) Nous supposons connue du lecteur la théorie élémentaire des dôtcnninants qui se trouve aujourd'hui dans tous les Traités d'algèbre.

On a donc finalement :

d'où cette règle :

La dérivée (Vun déterminant est égale à la somme des déterminants que Von obtient en remplaçant successivement chaque ligne verticale [ou horizontale) par une autre formée avec les dérivées des termes de cette même ligne.

Dérivées des fonctions circulaires

î>8. Nous savons déjà que la dérivée de sin x est cos x, La dérivée de cos x s'obtiendrait par un calcul analogue. Mais le théor?îme des fonctions de fonction la donne immédiatement. On a, en effet :

cosa? = sin(- — xy Sa dérivée esi donc égale à cos(^ — x\ multiplié par la

dérivée de 5 — x qui est — 1.

On a donc

(cos œ)' =

— sino?.

Les dérivées de

sina?

tff a? = >

^ cosa?

sec a? = — cosa:

s'obtiennent par la règle de dérivation d'un quotient. On a ainsi :

, ., cos X. cos X — sin a? ( — sin x) sin^a?-}"COS^^ i

® ^ cos^ X cos* X cos^a?

, . ,, ( — sin a?) sin a?

(séc x)' = — i 5 — ^ = — z —

^ ' cos^a; cos-'a?

On en déduit, k Taide du théorème des fonctions de fonction,

(cotg.)' = [tg (!-«)]' =--!-- = -

(coséca;)' = séc (5 — œ) = jz ^ =

sin^âp

cos X sin^a?

59, Quant aux dérivées des fonctions circulaires inverses, on les obtient par la règle de différentiation des fonctions inversos. C'est ainsi que nous avons trouvé (n" 65) pour la dérivée de y = arc sin a:.

le radical devant avoir le signe de cos y.

Soit y = arc cos x^ on a d'abord a: = cos y, puis en différentiant par rapport à x et ayant égard au théorème des fonctions de fonction

1 = — siny, y\ d'où

siny v^l — 0?'^

le radical devant être pris avec le signe de siny. Soit encore y = arc tg a- ; on aura successivement

X = iÇry 1 = -— yS

^^' cos* y

d'où

On trouve de même : pour y = arc cotg j:-,

et pour y = arc séc x^

le radical devant être pris avec le signe de tg y. Enfin pour y = arc coséc x, on a

le radical devant être pris avec le signe de cotg y.

Il est à remarquer que, comme log x^ les fondions circulaires inverses ont des dérivées algébriques.

Expression de raccroisseineiil d'une fonction de plusieurs variables

60. Le théorème des fonctions de fonction, les règles relatives à la dérivation d'une somme, d'un produit, d'un quotient, d'une puissance, ne sont que des cas particuliers de la règle de dérivation des fonctions composées. Mais, avant d'exposer cette règle, il convient d'étendre à une fonction de plusieurs variables la formule fondamentale (3) du n* 6.

A cet effet, une définition nouvelle est nécessaire.

Soit îi = /(,r, y, :;) une fonction de plusieurs variables Xy y^ z. On peut prendre la dérivée de u en considérant x comme seule variable et traitant // et z comme des constantes. On donne alors à Texpression ainsi obtenue le nom de dérivée partielle de le par rapport à x et on la désigne par

n (^, Vi -).

Il y a de môme une dérivée partielle par rapport à y, et une dérivée partielle par rapport à 2 ; on les désigne respectivement par f\j (t, y, z) et/', (j-, y, z).

Par exemple, soit

r=kœ^ + By^+ C^* + 2Da?y4-H On a

n = 2Aa? + 2Dy, fy = 2By + iDx, fL = 2Cr.

Désormais, quand nous parlerons d'une fonction de plusieurs variables, il sera toujours sous-entendu que cette fonction est bien définie et continue, et qu'elle admet des dérivées partielles continues au moins dans un certain champ. Nos raisonnements ne s'étendront qu'à un champ assez restreint pour que ces conditions soient remplies.

61, Cela posé, voici la formule que nous avons en vue : Si Von désigne respectivement par Aa:, Ay, Az, les accroissements donnés à plusieurs variables x, y, ;:, et par Aw l'accroissement correspondant d'un fonction u := f {x^ y, z,) de ces variables^ on a :

Aw = /i {x, y, z) ticc + /•; [x, y, z) tiy + n [œ, y, z) \z

où OL^ g. Y, désignent des quantités qui tendent vers zéro en même temps que Aj^, Ay, Az.

En effet, on a

Aw = r{œ + A:r, y + Ay, z + Lz) ^ f [x, y, z) OU

Aw=: [r{x + ùix, y+Ay,^ + A-^) — /^ (^, y + Ay, ^ + A^)] + l/(^% y + Ay, ^ + A^) ^r[x,y,z + A^)] + [f (^, y, 3' + A^) — /• [x, y, z)l

et, en appliquant à chaque crochet le théorème des accroissements finis (n* 36),

Am = Aa? /i (a? + ^Ao?, y + Ay, -8' + ^*) + Ayr;(a?,y-|-XAy, z + A^) + tkz fi (07, y,z + |xA^),

oîi ô, X, [A désignent des nombres compris entre 0 et 1.

Posons actuellement

/î {x + 6Aa?, y + Ay, ^ + ^s) — /"i {x, yyZ)=^9L

r'y (^, y + ^^y, ^ + A^) — /; (^, y, ^) = P, /i' (^» y, -2- + kA^) — fL (^, y, -s-) = r ;

a, g, Y tendront vers zéro en même temps que Aj-, Ay, Aw. Il suffit dès lors d'ajouter ces égalités, après les avoir respectivement multipliées par Aa-, Ay, As, pour obtenir la formule (12).

Dérivée d'une fonction composée

€»â. II est aisé maintenant de trouver la dérivée d'une fonction composée

c'est-à-dire d'une fonction de plusieurs variables m, v, n\ qui sont à leur tour des fonctions d'une môme variable indépendante X.

Lorsque x prend l'accroissement Ax, les fonctions composantes M, r, w prennent respectivement les accroissements Aw, Av, At£?, et l'accroissement correspondant Aw de la fonction composée est, d'après le numéro précédent, donné par la formule

Ao) = fi («, V, w) Au + tl (w> ^> w') Ar -f- fi, (m, v, î<?) Am?

où a, 3, Y> désignent des quantités qui tendent vers zéro lorsqu'on fait tendre vers zéro Aa: et, par suite, Aw, Ar, Aïo. Nous supposons d'ailleurs, il est presque superflu de le répéter, que la fonction o) admette des dérivées partielles continues et que w, i\ w admettent des dérivées ordinaires w', v\ w' déterminées. Alors, si on divise les deux membres

Par exemple, soit

/• = Aa?» + By2 4- Cz* 4- 2Dxy 4- H On a

n = 2Aa? + 2Dy, r; = 2By + ^Dx, fl = 2C r.

61, Cela posé, voici la formule que nous avons en vue :

Si l'on désigne respectivement par Aa:, Ay, Az, les accrois-

sements donnés à plusieurs variables x^ y, z^ et par Am

r accroissement correspondant d'un fonction u^=f[x^ y, z,)

de ces variables^ on a :

Am = ri, {x, y, z) àx + /•; (/», y, z) Ay + /;' (a?, y, z) ^z ^. + aAo? + pAy + Y^^» * ^ ^

où a, P, Yï désignent des quantités qui tendent vers zéro en même temps que t^x^ Ay, AjS.

En effet, on a

Am = r[œ + Aaî, y + Ay, z + A^) —/*(«?, y, z) ou

Am = [f{x + Aa?, y-f- Ay, z + A^) — /* (a?, y -f Ay, z + A^)] + \f[x, y + Ay, ;r + A;?) - /-(a?, y, ^ + A^)] + 1/ (^t yi 3- + A^) — /* (a?, y, ^)],

et, en appliquant à chaque crochet le théorème des accroissements finis (n** 36),

Am = Aa? /% (a? + ^^^i y + ^y» ^ + A^») + ^y T'y {x,y ^-kLy, z + b.z)

+ A^ A' (^, y, -2- + îJ^A^), où ô, X, |i. désignent des nombres compris entre 0 et 1.

Posons actuellement

/i {œ + OAa?, y + Ay, ^ + Az) — /^ (a:, y,z)z=^o^ t'y (^. 3/ + ^^y, -^ + A^) — /; te, y, ^) = p,

/"= (^» 3/1 '2' + f*A^) — fi K y» ^) = Y ;

a, g, Y tendront vers zéro en même temps que At, Ay, A>3. Il suffit dès lors d'ajouter ces égalités, après les avoir respectivement multipliées par A^, Ay, As, pour obtenir la formule (12).

Dérivée d'une fonction composée

€»S. Il est aisé maintenant de trouver la dérivée d'une fonction composée

0) = /*(w, t?, to),

c'est-à-dire d'une fonction de plusieurs variables w, t?, te, qui sont à leur tour des fonctions d'une môme variable indépendante X.

Lorsque x prend l'accroissement Ix^ les fonctions composantes w, r, w prennent respectivement les accroissements Aw, Ar, Au;, et l'accroissement correspondant Aw de la fonction composée est, d'après le numéro précédent, donné par la formule

A<i> = /*i (m, î?, lo) ùiu -f- fi (m, V, w) Ar + fw (w» v, w?) Am? 4- aAw -f- pAî? + yAm?,

oîi a, 3? ï» désignent des quantités qui tendent vers zéro lorsqu'on fait tendre vers zéro Aa: et, par suite, Aw, Av, Aw;. Nous supposons d'ailleurs, il est presque superflu de le répéter, que la fonction u admette des dérivées partielles continues et que i/, i\ w admettent des dérivées ordinaires u\ v\ w' déterminées. Alors, si on divise les deux membres

de la relation précédente par Ax, on a

Â5 "■ '«• Aa? "^ ^*" Aa? "^ '^^ àx ^ Ao? ^ '^ Aa? ^ ^ Aa?

d'où, à la limite, lorsque Ax tend vers zéro,

i^' = rn'^' + n'V+r:,-w' (i3)

Donc : la dérivée (Tune fonction composée est égale à la somme des produits obtenus en multipliant ses dérivées par^ tielles par rapport aux fonctions composantes par les dérivées de ces composantes. Tel est le théorème des fonctions composées.