Examinons quelques cas particuliers

1** Soit ù) = Aw + Bu + dw, A, B, C étant des constantes. Les dérivées partielles de w par rapport à ?/, r, w sont respectivement A, B, C ; on a donc

<o' = Am' + Bi?' 4- Cw ;

c'est le théorème sur la dérivée d'une somme. 2° Soit

(0 = uvw ;

les dérivées partielles de o) par rapport à //, r, ic sont respectivement viL\ uw^ uv; on a donc

0)' == vtou' + uio.v -j- uvw\ ou

c'est le théorème relatif à la dérivée d'un produit

u 3* Soito) =-=«<?;"* ;lesdérivécs partielles de (0 par rapport

à t< et & t? sont respectivement- et — uv~^; on a donc

, u ,3 vu — uv

c'est le théorème relatif à la dérivée d'un quotient;

4° Dans le cas où il n'y a qu'tme fonction composante, c'est-à-dire lorsqu'on a

0> =/*(«), u étant une fonction de x, la formule (13) se réduit à

o)' = /' [u),u ; c'est le théorème des fonctions de fonction.

Usage du tliéorèinc des fonctions composées

G4. Le théorème des fonctions composées permet de ramener le calcul de la dérivée de toute fonction explicite d'une seule variable indépendante au calcul des dérivées des fonctions simples. Voici comment:

Toute fonction explicite o> de la variable indépendante x résulte d'un nombre limité d'opérations effectuées successivement sur cette variable. S'il n'y a qu'une opération, on est en présence d'une fonction élémentaire; on peut donc trouver sa dérivée. S'il y a plusieurs opérations, la dernière devra être effectuée sur une ou plusieurs fonctions t/, t\ lo.,, déjà formées, et Ton aura:

(o =/ {n, r, te, ...)

Le théorème des fonctions composées ramènera alors la dérivation de w à celle des fonctions w, i», u»,... et à celle

(les fonctions qui résultent de /(w, t% tr,...) quand on y regarde tour à tour toutes les fonctions composantes sauf une comme des constantes. Si les fonctions t/, r, tr,... ne résultent pas d'une seule opération effectuée su la variable x, on traitera chacune d^elles comme nous venons de l'indiquer pour 0), et ainsi de suite jusqu*à ce qu'on tombe sur des fonctions élémentaires.

Oo. Quelques exercices sont indispensables pour apprendre à calculer les dérivées avec rapidité et sans hésitation. Aussi croyons-nous devoir traiter un certain nombre d'exemples :

!• Soit y = m", u et v étant deux fonctions de x dont la première est supposée positive ; on a

log y = I? log w, d'où

et enfin

y' =u''-* [vu -\- ux>' log m).

L'application du théorème des fonctions composées conduirait au même résultat. En effet, les dérivées partielles de w" par rapport à m et à u étant respectivement rw"* et lC log 2/, on a

y m 'OUy-^U* + tt*'logM.Î?'.

Dans' le cas particulier où m = r = jr, on a :

(,ci7^)' = or»^ (1 + loga?).