Soit

y = log 2 + -^ + V^ + ^^ + ^n*

On a

[h , y . , h 4- "iic

^ -f- a? + Va -f- ôa? -f- x^ -\-x-\'\la-\-bx-{'C^

3*Soil

<4a -\- bx ■\- ex

On a

vMO^D' ^'^'

ou, réductions faites.

y' = * j«LEiL.

Définition

6G. A la notion de la dérivée se rattache immédiatement celle de la différentielle, dont la conception est due à Leibnitz. Reprenons la relation fondamentale

Ay = y'^x 4" tAa? (1)

de la page 8. C'est à la première partie y'Axdu second membre qu'on donne le nom de différentielle. Ainsi, par définition, la différentielle d'une fonction y z= f [x) est le produit de la dérivée de la fonction par l'accroissement arbitraire de la variable indépendante x.

On représente cette différentielle par la lettre cl que Ton place devant le symbole qui désigne la fonction. On a donc

dy = y'^x ou df{x) = f [x) Aa:.

Cett6k définition, appliquée au cas oii la fonction f [x) se réduit à la variable indépendante elle-même, donne

dx = ^x, (2)

puisque la dérivée de x est égale à l'unité. On peut donc

écrire

d'où l'on déduit

dy = y'dx, (3)

Ainsi, en résumé :

La différentielle de la variable indépendante n^ est autre que r accroissement arbitraire de cette variable,

La différentielle d'une fonction est le produit de la dérivée de la fonction par la différentielle de la variable indépendante,

La dérivée d'une fonction est égale au quotient de la différentielle de la fonction par la différentielle de la variable indépendante.

Ajoutons encore, d'après la formule (1), que, «' Von suppose Vaccroissement Ix de la variable infiniment petite et si^ pour la valeur de x considérée la fonction a une dérivée déterminée et différente de zéro^ la différentielle dy de la fonction est la valeur principale y'\x de Vaccroissement infiniment petit Ay de cette fonction.

Tnicrprétalion géométrique de la différentielle

G7. La différentielle dy est susceptible d'une interprétation géométrique fort simple.

Soit C la courbe qui a pour abscisses les valeurs de la variable indépendante x et pour ordonnées les valeurs correspondantes de la fonction y = f {x). Désignons respectivement par I et N les points où l'ordonnée P'M' voisine de PM rencontre la tangente MT au point M [x^ y) et la parallèle à OX menée par M. On a d'abord

do? = PP' = MN, puis

attendu que chaque membre représente le coefficient angu-> laire de la tangente. On déduit de là NI = y'dx = dy. Donc : la différentielle dy est égale à Vaccroissenient