IN = PI — PM
de r ordonnée de la tangente.
On voit de plus que n
IM'= NM' — NI = Ay — £/y = lAo?
Lors donc que PP' est infiniment petit, si la tangente MT n'est parallèle à aucun des axes coordonnés, NI est un infiniment petit du môme ordre et IM' un infiniment petit d'un ordre supérieur.
Différentielle d'une fonction de fonction
68. Considérons une fonction de fonction définie par les relations
On a, comme nous Tavons vu,
Introduisons la notation différentielle; cette relation s'écrira
du ., f .du,
mais,^ et -r- étant les quotients des différentielles de y et de
u par la différentielle dx de la variable indépendante, on peut supprimer le dénominateur * commun dx et écrire
simplement
dyz=f[u)du. (6)
Il résulte de là que, si l'on a y = f[u), on a toujours dy = f\ii) du, que u soit ou non la variable indépendante.
Ainsi, tandis que la dérivée y' a deux expressions différentes,
suivant que u est ou non indépendante, la différentielle dy conserve toujours la môme forme
dy = f(u) du.
On voit par là que Temploi de la différentielle est plus avantageux, au moins en théorie, que celui de la dérivée. On ne doit pas oublier toutefois que, dans la pratique, quand on calcule dy, il faut, si u n'est pas la variable indépendante, c'est-à-dire si Ton a «/ == 9(0-), remplacer du par sa valeur (p'(x) d^-
Ainsi, soit
y =z log sin x ; on aura
j * j • cosa? ,
dy = -, — d. sina? =: -: dx =. colRxdx.
sma? sinoj ^
69. Les avantages de l'emploi des différentielles apparaîtront de plus en plus clairement à mesure que nous avancerons dans l'étude du calcul infinitésimal. Il nous paraît cependant utile d'insister ici encore un peu sur ce sujet.
Si y est une fonction de x, on a, en désignant cette fonction par 9(x),
dy = Y [x) dx ;
les différentielles dx et dy sont arbitraires, leur rapport seul est déterminé, et rien n'oblige à considérer x plutôt que
CALCUL IT«FIKrréBIUAL. 5
y comme étant la variable indépendante ; Temploi des dérivées exige au contraire qu'on fasse un choix.
Plus généralement, considérons autant de variables qu'on voudra, j-, y, 3, w, liées de telle sorte qu'on puisse les regarder comme des fonctions de Tune quelconque d'entre elles. Supposons qu'on regarde y, >s, w, comme des fonctions de x^ on aura
dy =: ydx^ dz =z z'dx^ du = u'dœ^
dy dz du
Si l'on veut alors prendre r-, par exemple, pour la variable indépendante, on pourra, sans nouveau calcul, obtenir les dérivées de ^, y, u^ par rapport à z\ il suffira de diviser par dz^ ce qui donnera :
d^ J. dy %£ du u*
dz z' dz z' dz z'
Tableau des diiïéreul telles des fonctions usuelles
70, Voici le tableau des différentielles des fonctions dont nous avons calculé les dérivées dans le chapitre précédent :
d [a -{- bu-\- cv) = hdu + <?^^
d (uvîo) du , dv . dw , /«A v^u — udv
uvto u V ÎO \v J v'
du
d (m'") = mu'^-^du, d (y/w)
âV'w
dlogu = — ) d.{a")=z a^loga^
d (sin u) = cos iidu. d icos n) = — sinudu, d (tsfw) = — r— >
o?(arcsinM) = -p=^-(/(arccosw)= ? d[arcigu)= . ^;
V 1 — ii'^ ' sji — u^ * "T ^^
f7, 6, c sont des constantes; ?/, r, w sont des variables indépendantes ou dépendantes ; enfin, danslesdeux premières expressions de la dernière ligne, le radical a, pour la première, le signe de cos ii et, dans la seconde, le signe de sin w.
Différentielle totale d'une fonction de plusieui*s variables indépendantes
71. D'après la formule (12) du chapitre précédent, Taccroissement de la fonction u de plusieurs variables x, y, z^ se compose de deux parties que nous avons écrites sur deux lignes différentes pour les bien distinguer Tune de l'autre.
Supposons que les variables x, y^ z soient indépendantes.
Par analogie avec ce qui a été dit pour les fonctions d'une seule variable, on donne à la partie de \ti qui est sur la première ligne le nom de différentielle totale de la fonction u et on la désigne par du. On a donc, par définition,
du = fx (a?, y, z) Aa? + fy (07, y, z) Ay + ^ (^, y, ^) A^ (7)
On voit, en outre, que, si i^x. A//, As sont infiniment petits du premier ordre et si les dérivées partielles /'/, //, // ne sont pas nulles simultanément, Taccroissement A« de la fonction sera aussi un infiniment petit du premier ordre, dont la valeur principale sera la différentielle totale du de cette fonction.
On peut d'ailleurs constater, en divisant Tune par l'autre les expressions de ^ii et de du^ que, si les dérivées partielles /,', //, // ne sont pas toutes nulles, le rapport
Au . aAa? -f- PAy -}- yA^-
rftt ~ + at^x + /^Ay -f- flt^z
a pour limite Tunité lorsque A:c, Ay, Az tendent vers zéro.
tJ8 CHAPITRE V
du moins tant que les rapports des accroissements Aar, Ay, Az à Tun d'eux restent arbitraires.
La relation (7), appliquée successivement au cas où la fonction se réduit tour à tour kx^ y ou z, donne
dx = Aa?, dy = Ay, dz i= A-a-,
On peut donc écrire, au lieu de (7),
du=zf'^ (a?, y,z)dx'{- f'y {x, y, z) dy + fl [x, y, z) dz. (8)
Mais, d'après la définition de la différentielle d'une fonction d'une seule variable (n*' 66), les termes du second membre de la relation (8) sont les diflférentielles respectives de ti considérée tour à tour comme une fonction de la seule variable x y oxx z; on donne à ces expressions
fx i^, y, -) cLv, fy'[x, y, z) dy, fz,[x, y, z) dz
le nom de différentielles partielles de u parrapportà x, y, z, et la relation (8) s'énonce de la manière suivante :
La différentielle totale d*une fonction de plusieurs variables indépendantes est égale à la somme des différentielles partielles de cette fonction.
7ii. Un grand nombre d'analystes écrivent la formule (8) sous la forme
. du . . du , . du du = -y dx -j- -y- dy -f- y dz , dx ^ dy ^ ^ dz
Toutefois cette notation peut entraîner de graves confusions, les divers du qui figurent dans cette formule ayant des significations différentes. Pour éviter toute erreur, quelques géomètres, à l'imitation d'Euler et de Laplace, écrivent
les parenthèses indiquant que
idu\ (du\ /du\
^d^r tej' tej'
/du
représentent simplement les dérivées partielles par rapport k X, h j/ et k z. Mais, on ne saurait le dissimuler, Temploi des parenthèses est un embarras. Aujourd'hui on préfère, à l'exemple de Jacobi, supprimer les parenthèses en employant une autre forme de d lorsqu'il s'agit de dérivées partielles. C'est cette dernière notation que nous adopterons ; nous désignerons donc les dérivées partielles de ti par rapport k x, k 1/ et k z par. les symboles :
t^a ^u "bu
bx by ^z
Les différentielles partielles correspondantes seront, dès lors, représentées par
-<Jx, ^rl!^, jzdz,
et la différentielle totale par Ainsi, soit u = x?ifz\ on aura
et enfm
du = x^y [Syzdps + ^zdy + xydz).
Propriétés de la différentielle totale
73. Voici deux propriétés de la différentielle totale qui sont la généralisation des propositions des n*' 39 et 40.
Si une fonction u de plusieurs variables indépendantes Xj y, s, se réduit à une constante pour les valeurs de ces variables comprises respectivement entre certaines limites, la différentielle totale du est nulle entre ces limites; et, réciproquement, si la différentielle totale du est constamment nulle, la fonction est constante.
En effet, comme dx, dy^ dz sont arbitraires, la condition du = 0 entraîne
c)m 'bu Dm
et réciproquement. Or (n** 39) les conditions précédentes expriment : la première que u est indépendant de t, la seconde que // eA indépendant de y, et la troisième que u est indépendant de 2.
