Voici une application
Trouver la courbe dont les normales passent par un même point.
Prenons ce point pour origine, et soient x e^i y les coordonnées rectangulaires d'un point quelconque de la ligne cherchée. Le coefficient angulaire de la tangeûte étant
dy celui de la normale est
dx
dx dy'
et réquation de la normale est
Pour qu'elle passe par Torigine, il faut et il suffit qu'on
ait
dx
^ dy
ou
oodx + ydy — o,
c'est-à-dire
et, par conséquent, d'après le théorème ci-dessus, x^^y^ = 0\
Les courbes demandées sont donc des cercles ayant pour centre le point de concours des normales.
75. En appliquant le théorème précédent à la différence Il — t? de deux fonctions ti et v de plusieurs variables indépendantes x^ y, :;, ..., on obtient la proposition suivante, qui est la généralisation de celle du n"* 40 :
Si pour les valeurs des variables indépendantes x^ y, z^ comprises respectivement entre certaines limite^ ^ deux fonctions u et V ne diffèrent que par une constante^ les différentielles totales du et dv sont égales; et, réciproquement, si les différentielles totales du et dv sont égales, les fonctiom u et v ne diffèrent que par une constante.
Différentielle d'une fonction composée
76. Nous avons vu (page 58) que, si m, v, w sont des fonctions d'une même variable indépendante x, la dérivée par
rapport à ar de la fonction composée d) = f[ii^ t\ tv) a pour expression
ce qui, avec nos nouvelles notations, peut s'écrire
rfo) <^» du^ L ^ ËE. i ^ ^^
dx t^M dœ 'bv dx "bw dx
Si donc on multiplie par dx^ on a, pour la différentielle de la fonction composée,
rf<o = ^r5?rfM + ^rf., + ^rf,.. (10)
Le second membre a la forme d'une différentielle totale (n** 72) ; toutefois ici du^ dv^dic ne sont pas des différentielles de variables indépendantes, c'est-à-dire des quantités arbitraires, mais au contraire des différentielles de fonctions d'une même variable.
77. La formule (10) subsiste dans le cas oîi w, t;, w sont des fonctions de plusieurs variables indépendantes x, y ; alors du, dt\ dw représentent les différentielles totales de ces fonctions u, t\ tv, de a: et de y. La démonstration n'offre aucune difficulté. En effet, w étant en définitive une fonction des variables indépendantes x et y, on a
D'autre part
c*a) ^u) }^7i ^^Tioy 2v . Do) bw i^X ^M ^X 'èv 'bx "blO ^X
tjo) c^ ^ l "^^^ ^^ '^^•^ ^^^
^1/ "du "by * ^v ^y ho ^y
En portant ces valeurs dans la relation (11), on obtient :
Do) (lu , , t^w . \
expression qui n'est autre que (10), puisque les parenthèses représentent respectivement les diflFérentielles totales rf//, di\ dtr.
Ce dernier théorème est très important ; il en résulte que les règles de différentiation d'une somme ^ d'un produit^ d'un quotient et des puissances de foîi étions d'une seule variable sont applicables au cas des fonctions de plusieurs variables indépendantes.
Principe de la superposition des petites variations
78. Nous avons vu (n® 74) que, si Aj:, A;y, As, ..., sont des variations infiniment petites du premier ordre, Taccroissement lu de la fonction u=f [x^ y, s, ...) est, en négligeant les quantités d'ordres supérieurs au premier, donné par la formule
Donc, si une fonction dépend de quantités qui éprouvent des variations très petites^ la variation totale de la fonction est sensiblement égale à la soînme algébrique des variations que cette fonction aurait subies, si chacune des quantités dont elle dépend eût varié seule.
« Le principe de la superposition des petits mouvements », dit Cournot dans sou Traité des Fonctions^ « qui joue un rôle
lA CHAPITRE V
« si important dans rexplication des phénomènes physiques, « n'est lui-môme qu'une conséquence du principe que Ton « vient d'énoncer et qu'on pourrait appeler le principe de la « superposition des petites variations. Ce principe fait com- « prendre comment un nombre borné d'expériences fournit « les moyens de calculer les variations d'une quantité qui « dépend de plusieurs autres, suivant une loi inconnue, « pourvu que les variations de ces dernières quantités soient « renfermées dans des limites étroites. Car il suffira, à la « rigueur, d'observer les valeurs de Aw pour autant de sys- « tèmes de valeurs de Aj:, A/y, A^,...., qu'il y a de dérivées « partielles à déterminer numériquement dans l'équation (12), « et ensuite cette équation donuera \u en fonction linéaire « de Ax, A//, A:;, ..., pour des valeurs très petites, mais d'ail- (( leurs quelconques, de ces variations. L'art des observations « consiste à observer dans des circonstances qui permettent « de déterminer ces coefficients inconnus avec la plus grande « précision; la théorie des chances fournit à ce sujet des « indications que nous n'avons pas à développer ici. »
