DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES D'ORDRE SUPÉRIEUR AU PREMIER

Dérivées et différentielles des divers ordres d'une fonction d'une seule variable

79. La dérivée ij onf'{x) d'une fonction de x est en général une fonction de cette variable ; elle admet donc elle-même une dérivée qu'on nomme dérivée seconde et que l'on^représentc par y" ou f" {x). La dérivée de cette dérivée seconde prend le nom de dérivée troisième et est représentée par tj"' OMf^x)^ et ainsi de suite.

On nomme différentielle seconde d'une fonction y = /(j:) la différentielle de sa différentielle première dij = ydx^ à condition de considérer, dans le calcul de cette nouvelle différentielle, le facteur dx comme constant, c'est-à-dire comme indépendant de x. Dans cette hypothèse la dérivée de ydx est y'dx^ et, par suite, en désignant par d'y la différentielle seconde, on a

d^y = {y"dx) dx = y'dx^.

En prenant de même la différentielle de rf'y, dx étant toujours considéré comme constant, on a la différentielle troisième qu'on représente par d^y et qui a pour expression :

â^y = [y"dx^) dx == y"(^\ et ainsi de suite.

On déduit de là

d'où Ton voit qu'en définissant les différentielles successives comme nous venons de le faire, Tanalogie avec la différentielle première se trouve conservée : de même que la dérivée première y' est égale au quotient de la différentielle première dij par la première puissance de la différentielle dx de la variable indépendante, la dérivée /i'"'"° , y ^"\ est égale au quotient de la différentielle /i'^*"*, rf"y, par la puissance w'""' de la différentielle dx de la variable indépendante.

Application aux fonctions élcmentaires