Voici

les dérivées successives

de

quelques

fonctions

usuelles :

1» Soit

z=. af^ ;

on aura :

dx~'^'' ' dx'

Si m est entier et positif, la dérivée m'*'"^ est constante et égale à If 2, 3, ..., m, et les dérivées suivantes sont nulles. 2* Soit

y = logo:; on a

dy i . dhf . 2

c?a? a: ' dx^ ' '

3» Soit

on a:

En particulier

dx» - ^ • 4' Soit

y = sin (a? + a),

a étant une constante.

On a

-^ = cos (a? + a) = sin (a) + * + 1)

rfo?

En particulier, pour a = o et a = ^> on a :

c?" sin 0? . / , w\ c?" cos x / , ^^X

-^^=sm(^a; + n^j, __ =, cos (^o. + n -^ j •

5° Soit enfin

y = arc igoG; on a

•-p- = cos^ y = cos y, cos t/ dx

-T-^ = — 2 cosy siny ^ = — sin 2y cos^ y

-r-^ = — (2 cos^y cos2y — 2 cos y sin y sin2y) cos' y = — 2 cos 3y cos^ y

On en conclut, par induction,

^ = {— i)"-»!. 2... (n — 1) cos" y sin n (^ ■- y)

sauf à vérifier la généralité de cette loi en prouvant, ce qui /ie présente aucune difficulté, que, si la formule est vraie pour la y*'^""' dérivée, elle subsiste pour la dérivée d'ordre

Al -4- 1.

Dériv<'^os$ partielles des divers ordres d'une fonction de plusieui*s variables