Les dérivées partielles
yu hi u
d'une fonction u = / (.r, y, ;;) de plusieurs variables sont elles-mêmes des fonctions de ces variables, et on peut prendre successivement les dérivées partielles de chacune d'elles par rapport h jc^ h y ou k z. On obtient ainsi les dérivées partiellps du second ordre de la fonction //, tandis qu'on réserve le nom de dérivées partielles du premier ordre aux quantités ci- dessus.
En prenant la dérivée par rapport à x, à y ou k z des dérivées partielles du second ordre, on obtient les dérivées partielles du troisième ordre; et ainsi de suite.
Si />?est le nombre des variables j, y,:;, ...,qui entrent dans la fonction ?/, on obtient un nombre de dérivées partielles égal à m pour le premier ordre, à m- pour le second ordre, à ?n" pour le ;i'^'"*' ordre.
Mais les dérivées partielles ainsi obtenues pour un même ordre supérieur à 1 ne sont pas toutes distinctes. Cela résulte du théorème suivant.
82. On peut^ sans changer la valeur d'une dérivée partiellc d^ordre quelconque^ intervertir Vordre des dérivations^ à condition que la fonction et les dérivées partielles jusqu'à l'ordre indiqué soient continues.
Il suffit évidemment de démontrer la possibilité d'interver-
tir Tordre de deux dérivations successives ; le théorème général en résultera par un raisonnement analogue à celui qu'on emploie en arithmétique dans le théorème relatif à Tordre des facteurs d'un produit.
Soit donc h une fonction de plusieurs variables et
les dérivées partielles de u par rapport à deux quelconques X et 1/ des variables dont elle dépend ; pour plus de rapidité, nous omettons dans les parenthèses qui accompagnent les signes /', , /'y les variables autres que x et y, vu qu'elles restent constantes dans la question.
Il s'agit de prouver que, si Ton prend la dérivée par rapport à y de la première des expressions (l)etla dérivée par rapport à j:* de la seconde, les deux résultats obtenus, que nous désignerons respectiveiAent par
sont les mêmes.
A cet effet, considérons l'expression
où J-Q, ^Q, A, k sont des quantités déterminées. Si Ton pose
/ (^» .Vo + ^) — /* (^1 2/o) = ? i^^)^ on aura
et, par suite, en vertu du théorème des accroissements finis,
Mais on a
?' (^) = /i (^. ^0 + A) — fx (^, ^o) ;
80 CHAPITRE YI
et, par suite, d'après le théorème déjà cité,
f (^) = ^rix (.r, yo + ^A) (0 < e, < 1),
en sorte que
U = hkn. <>o + «^. yo + ^^)- (2)
Le même raisonnement, en échangeant les rôles des lettres X et y, conduirait à
On a donc, en comparant les relations (2) et (3),
ru (a?o + OA, .Vo + «1^) = ny (^0 + ^^» yo + >^**)i et, par suite, à la limite, lorsque A et k tendent vers zéro,
rtx ('^1 y) = fxy [oOy y).
83. Cela posé, revenons aux dérivées partielles des divers ordres d'une fonction u de plusieurs variables, et considérons d'abord le cas où ces variables ne sont qu'au nombre de deux, X et y.
La dérivée partielle —-? quand on prendra successivement
sa dérivée par rapport à j: et sa dérivée par rapport à y, donnera deux dérivées parliolies du second ordre que nou s désignerons respectivement par
L'autre dérivée partielle du premier ordre — » quand on
prendra successivement sa dérivée par rapport à y et sa dérivée par rapport à x, donnera, à son tour, deux dérivées partielles du second ordre, que nous désignerons respecti-
vement par
Mais, d'après le théorème ci-dessus, on a
Il n'y a donc que trois dérivées partielles du second ordre distinctes
Elles ont pour expression générale
a et g étant des entiers positifs ou nuls dont la somme est égale à 2.
L'expression générale des dérivées partielles de Tordre n d'une fonction ii d'un nombre quelconque de . variables X, y, ..., /est
a, g, ...., 0 étant des entiers positifs ou nuls ayant pour somme n. L'exposant, dont la différentielle d'une variable quelconque est affectée, dans le dénominateur de ce symbole, indique le nombre des dérivations relatives à cette variable. Par exemple, la notation
représente le résultat obtenu en prenant deux fois de suite la dérivée par rapport à z, puis une fois la dérivée par rapport à y, enfin deux fois la dérivée par rapport à x,
CALCUL INFIXITÉSLMAL. G
Voici, pour ne rien laisser à désirer sous le rapport de la clarté, le tableau de ces opérations successives, en supposant
On a
CZ vZ*
Différentielles partielles et différentielles totales des ordres supérieurs des fonctions de plu<sieui*s variables indépendantes.
84. Considérons d'abord une fonction tt de deux variables indépendantes j: et y ; chacune des différentielles partielles du premier ordre
r- oo?, r- dy
donnera deux différentielles partielles du second ordre quand on la différentiera successivement par rapport à x et à y. Dans ces différentiations les différentielles dx et dy des variables indépendantes, qui, comme on sait, sont arbitraires, seront supposées constantes. D'après cela, en différentiant
r— ax ox
par rapport à x, on aura
