I -— rr dœ\ dx ou —^ da^y

et, en diiTérentiant par rapport à y, on aura

( ^TT- wo? ) ai/ ou r-r- dxdv.

L'autre différentielle partielle du premier ordre

donnerait les différentielles partielles du second ordre

et, comme

on a finalement les trois différentielles ])artielles du second ordre distinctes

Le type général des différentielles partielles d'ordre n d'une fonction u d'un nombre quelconque de variables indépendantes x, y, ...., / est

^'^ dœ^dy?.,.dl\

n désignant la somme «+ g + .... -|-ô.

85. Enfin il y a lieu aussi de distinguer des\diff'érentielles totales des divers ordres.

te étant une fonction de plusieurs variables indépendantes, la différentielle totale du définie au n* 72 prend le nom de différentielle totale du premier ordre. On nomme différent tielle totale du second ordre^ et on représente par (Pu la dif-

férentielle totale de r/?/, c'est-à-dire la somme des différentielles partielles de du. De même, on nomme différentielle totale du troisième ordre et Ton représente par dhi la différentielle totale de d-u ; et ainsi de suite.

Nous allons calculer ces différentielles successives.

Pour avoir la différentielle totale d'une fonction u de plusieurs variables x^ y, z^ il faut, d'après la définition môme de celte différentielle, prendre les dérivées partielles de cette fonction par rapport à x, y, z, multiplier respectivement ces dérivées par dx, dij^ dz, puis ajouter. En appliquant cette règle à la différentielle totale du premier ordre

du = ^£dx + ^dy-{.^£dz (4)

on a

a.u=^4^da, + ^-^dy + l^dz; (3)

or, les variables x, y, z étant indépendantes, dx, dy, dz sont constantes, en sorte qu'on a

-±^dx = {^~,dx^^dy^^^d.yx\

D [du] ^ ( D*W - , î^^w . , ^'^u . \ , \

-^ dz = ( 7-T- dx + r-rr- dy -{- -^--^dz) dz\

dz \^x^z ' ^y^z ^ • ?z* / /

d'où, par addition,