Lorsque, dans

les variables x^ y, z ne sont plus indépendantes, mais sont elles-mêmes des fonctions d'une ou de plusieurs variables, la fonction u est dite composée, et nous savons (n° 77) que sa différentielle totale du premier ordre est encore donnée par la formule (4), absolument comme si jt, y, ;; étaient indépendantes.

Ainsi la formule (4) subsiste ; mais il n'en est plus de même de la formule (7). C'est qu'ici rfx, dy, dz ne sont plus des constantes, et dans le calcul des quantités

l{du) ^du) ^ [du)

qui figurent dans la formule (5), il faut considérer chaque

terme de

, du j i du , , ^w , du = T- dx +T— du 4- :r- dz ox <^y ^z

comme un produit de deux facteurs qui sont riin et Vautre variables. Ainsi il faudra ajouter respectivement aux seconds membres des relations (6) les quantités

y^dh=, ^<Py, y^d^Z,

et, par suite, au second membre de (7), la somme de ces quantités. On aura ainsi

la première partie du second membre est sous forme symbolique.

Lemêmeprocédéconduiraitaux expressions de rf'^w, dhi^ ..., mais les formules qu'on obtient sont peu utiles à cause de leur complication.

Ce qui importe en pratique, c'est le calcul des dérivées partielles des divers ordres

'^xPT^^'f.,,

de la fonction composée (10) par rapport aux variables indépendantes a, g, ... , dont a;, y, z sont des fonctions données. Le problème est ramené de la sorte au cas des fonctions d'une seule variable : en effet on dérivera d'abord j} fois de suite l'expression (10) par rapport à a, puis on dérivera le résultat

^ q fois de suite par rapport à g, ce qui donnera— —^5 et

ainsi de suite.

87, Lorsque dans la fonction composée (10) les fonctions composantes y, ?/, z sont des fonctions linéaires de la variable ou des variables indépendantes a, g, ..., c'est-à-dire sont de la forme

Aa+B ou Aoc + B{J-|-C,

les différentielles premières dx, dy^ dz sont des constantes; et, par suite, les différentielles d'ordre supérieur.

d^ooy 6}y^ d^Zy <Px^ ...,

sont nulles ; par suite d'^ti est donnée par la formule (8); en d'autres termes, les différentielles totales de tout ordre de la

fonction composée (10) s'expriment dans ce cas simple comme si X, y, z étaient des variables indépendantes.

Formule de I^eibnitz

88. Il est un autre cas, fort usuel d'ailleurs, où la différentielle totale d'ordre n d'une fonction composée est susceptible d'une expression simple. C'est celui où cette fonction est le produit de fonctions w, r, ..., s, d'une ou plusieurs variables indépendantes.

Considérons d'abord le produit de deux facteurs u et t\ On a successivement

d{uv)= vdu -[- udv d^ {uv) = d [vdu) + d [udv)

= vd^u + 2dudv + {cP^) w cP (ut?) = d (vd^u) + 2rf {dudv) + d [ud^v)

= vd^u + Mvd^u + 3 d^vdu + (d^v) u;

on en conclut, par induction,

d^ {uv) = vd^u + Cldvd^-*u + ... (il)

... + C'^d^'vd^-^'u + ... + {d'^v) M,

formule attribuée à Leibnitz, et dans laquelle Cj désigne le nombre des combinaisons de n objets k à k.

89. Pour achever la démonstration de la formule (11), il suffit de prouver qu'en la supposant vraie pour l'ordre n elle subsiste pour l'ordre n -+- i.

A cet effet on ditférentie la formule (11), ce qui donne

d»+* (wv) = m"+«w + ... + (C*-* -|-CÎ)rf*i;£/"+«-*+ ... + (c?«+<t?) u; et, comme on a évidemment

C*— 1 , r>k f^k n + Cn — v^n+ 1»

il vient,

if«+« [uv] = r^«<-< M + ... + C*+ic?^W+*-'*« + ... + (rf«+*i?)w,

expression qui n'est autre que (H), dans laquelle on a changé n en n + 1.

On donne souvent à la formule (11) la forme symbolique

d^{uv) = {du +dv)^. (12)

Voici comment il faut l'entendre : après avoir développé le second membre d'après la règle du binôme de Newton, on mettra en facteur dans le premier terme {dvY et dans le dernier {diiY ; puis on remplacera les puissances (rfw)* et {dvf respectivement par les différentielles d^ii^ dh\ lorsque k n'est pas nul, et par ti et i\ si k est nul. 11 est clair qu'on tombera ainsi sur la formule (11).

Considérons maintenant un produit

u) = uv,,. tes •

d'un nombre quelconque de facteurs ; on aura encore symboliquement

rf^o) = [du + rft? + ... + dîo + dsY ; (13)

en d'autres termes, pour obtenir rf^w, on devra : 1* développer le second membre comme une puissance ; 2* introduire ensuite en facteur dans chaque terme la puissance zéro de celles des différentielles rfw, dv^ ..., ds qui ne figurent pas dans ce terme ; 3"* remplacer les puissances

[duY, [dvY, ..., ichY

par les différentielles

si k diffère de zéro, et par

si A' est nul.

Pour démontrer la formule (13), il suffit maintenant de faire voir que, si cette formule est vraie dans le cas de m — 1 facteurs, elle subsiste lorsque ces facteurs sont au nombre de m, A cet effet, désignons par y le produit des m — 1 facteurs ?/, r, ..., w\ on aura symboliquement par hypothèse

cfo) = c?'» {y, S) = (dy + ds)".

Or à un terme quelconque Akdy^ds^'^^ du développement de ce binôme correspond dans d^tù le terme kkd^yd^'-^s^ c'est-à-dire d'une façon symbolique

kk{du + ^«^ + ... + diofds"-^.

En raisonnant de même sur les autres termes et ajoutant, on tombe sur la relation symbolique (13).

Dérivées successives d'une fonction de ionclion