Nous terminerons ce chapitre par la recherche de

d^if

T-~> y étant une fonction de fonction de x définie par les

équations

Des relations (1) on déduit par différentiations successives :

rfa,»=/"H?'(«)+/"w-?"(«).

»■• Afl/^

On voit par là que -r^ est de la forme

S = 1^ 9' («) + ri < («) + - + îir« ^'"' W'- (^)

les coeffÎQients Aj, Ao, ..., A,, dépendent de f[x) et de ses dérivées, mais restent les mômes, quelle que soit la fonction ?(w).

On déterminera donc ces coefficients on faisant sur cette fonction 9(1/) des hypothèses particulières. En appliquant successivement la relation (2) aux cas oii les valeurs attribuées à ç(î/) sont les puissances, ti^ 21^^ ..., w", on obtient, pour déterminer A,, Ao, ..., A,„ les équations linéaires :

dx**

Nous laissons au lecteur le soin d^achcvor ce calcul qui n'offre ni intérêt, ni difficulté.

Définition des fonctions implicites

91. Lorsque ?n -\- n variables x^,.,x„,, ?/,...?/", sont liées par n équations

non résolues par rapport à //,, ... it„, on dit que t/,, ..., w„ sont (les fonctions implicites de ôCj, ..., x„^.

Mais sous quelles conditions ces fonctions w,, .... ?/„ sontelles bien définies et ont-elles des dérivées déterminées? La réponse à cette question exige quelques explications.

On dit que plusieurs variables indépendantes x, y, z ri'slent situées dans un champ (C) déterminé par les intervalles (a, a), (g, g'), (y, y'), lorsque les valeurs que peuvent [ïrendre ces variables sont tous les systèmes de valeurs toiles qu'on ait

OL < 0? < a', .B < y < P', T < -s^ < y'i

Cela posé, considérons les fonctions /j, ..., /„, qui consti- [iient les premiers membres des équations (1); soit (C) un champ dans lequel ces fonctions soient bien définies et con-

tinues, ainsi que leurs dérivées partielles, par rapport h

St ^, = «j, ..., ^„» =««,?/, = 6|, ..., w„ = *„ ^si un .V//.Vtème de valeurs comprises dans le champ (C) et propre à vérifier les équations (l) sans annuler le déterminant

Dm.

tV ^xw//» un système unique de n fonctions,

(pfl(a;^... a?,;,'!,

., A„ quand

satisfaisant aux conditions suivantes :

V Elles prennent respectivement les valeurs b^y on attribue à a\, ..., x^, les valeurs «,, ..., o,„ ;

2" Zi7//».v sont bien définies ^ continues et possèdent des dé rivées déterminées dans un certain champ (C) comprenant ^P .-.1 ^ini ^^ ^/rt/'.s' lequel K r^v/^? différent de zéro ;

3* iPo^//* /o?// système de valeurs de j., , . . . , x^n renfermées dans le chc^mp (C), les fonctions /,, ...,/„ deviennent identiquement nulles, lorsqu'on ij remplace Wj, ..., u,^ respectivement par <p,, ..., ç„.

Ce sont les fonctions 9,, ..., ç,i définies de la sorte, qui constituent les /onc//o/j.v implicites «j, ..., w,^.

Il était indispensable, pour préciser la définition des fonctions implicites, d'énoncer le théorème qui précède. Quant à sa démonstration, elle n'offrirait aucune utilité à nos lecteurs, et, comme elle est assez délicate, nous renverrons les personnes désireuses de la connaître au Cours d'Analyse de M. Jordan. Ces considérations purement théoriques nous éloigneraient de notre but qui est surtout d'apprendre à calculer les différentielles et les dérivées des fonctions implicites.

On pourrait aborder de suite le cas général, mais il nous paraît préférable de commencer par les cas simples (pii sont les plus usuels.

Différentiation des fonctions implicites d'une variable indépendante

9SU Soit u= (f{a:) la fonction implicite définie, sous les conditions indiquées ci-dessus, par une équation

Ici le déterminant K se réduit à ^ et, par suite, cette dernière quantité est supposée différente de zéro dans un certain champ.

Cela posé, dans f{x^u) on suppose w remplacé par ^(j:), f{Xy îi) sera une fonction composée ; et, comme cette fonction composée est égale à zéro, c'est-à-dire conserve une valeur constante dans le champ considéré, ses dérivées successives devront rester nulles dans le môme champ. On a donc, en appliquant la règle de dérivation des fonctions composées :

Puisque ^ n'est pas nul, la première de ces équations

donnera pour la dérivée première !/ une valeur déterminée; on portera cette valeur de li dans la seconde équation qui, pour la même raison, donnera une valeur déterminée pour u\ et ainsi de suite.

LES FONCTIOiNS IMPLICITES 95

93. Considérons, en second lieu, le cas où Ton donne n équations entre n + 1 variables, dont une seule reste dès lors indépendante; et, pour fixer les idées sans nuire à la généralité de la méthode, prenons le système

fk {^y Wn Wî) = o, /i (^, w^, Wî) = 0, (2)

en vertu duquel w, et w-j sont des fonctions implicites de la variable x. On suppose d'ailleurs le déterminant J différent de zéro dans un certain champ.

Puisque «j et ih sont des fonctions de x, les expressions /j (or, ?/,, W2), f^ (^î *'iî ^^2) ^^^^ ^^s fonctions composées de cette variable, et, comme ces fonctions composées sont nulles, c'est-à-dire conservent une valeur constante dans le champ considéré, leurs dérivées par rapport à x devront rester nulles dans ce champ. On a donc, en appliquant la règle de dérivation des fonctions composées

^ + > ^i + A wi = o 1

(Si+^âi;»'+^â;"i+'>|â;"«+^"."+^»i')