M^ ' OU

K n'étant pas nul, le système linéaire (3) donnera pour les inconnues u\ et î/'o ^^s valeurs déterminées ; en portant ces valeurs dans (4), on aura un système linéaire par rapport à u\ et î/o ^^ 9^^^ ayant pour déterminant K, déterminera ces inconnues ; et ainsi de suite.

Diifféi*eiiliation des fonctions implicites de plusieurs variables indépendantes

94. Considérons maintenant le cas général, c'est-à-dire le cas relatif aux équations (1) ; et, pour fixer les idées, supposons m = 3 et n = 2. Les équations données sont alors :

Elles définissent un système de fonctions implicites v^ et w.,, le déterminant

Dm, Duj

?^, ^ c)m, Dm,

étant supposé différent de zéro.

Les fonctions /, et /o sont des fonctions composées des variables indépendantes j?,, j*.,, x.y Ces fonctions composées ayant une valeur constante (qui est ici zéro), leurs différentielles totales des divers ordres sont aussi nulles. On aura donc les relations

Cf/, r=z O, rf/2 = O

d% = o, rf'A = o

Développons ces équations et, pour abréger Técriturc, désignons par /Tune quelconque des expressions/, et /!, ; l'équation (if = 0 développée est

el, pour avoir le système (G) développé, il suffira d'affecter successivement dans (8) la lettre / des indices 1 et 2. On

obtient ainsi un système de deux équations linéaires par rapport aux inconnues rfw,, du;^^ et qui détermineront ces différentielles totales, puisque le déterminant de ces équations est précisément le déterminant J qui, par hypothèse, est différent de zéro. Ces valeurs seront de la forme

du^ = B^flte^ + Bjrfj?j + Bgdbj, j ^^

ce qui donnera pour les dérivées partielles du premier ordre de Uy et de u.^ les expressions

Passons maintenant au second ordre.

En différentiant la relation (8) et n'oubliant pas que rfoTj, rfx2, dx^ sont constants, on a Téquation:

dans laquelle, pour plus de clarté, nous avons placé sur une même horizontale tous les termes fournis par la différentiation d'un môme terme de (8), sans opérer aucune réduction. On déduira de là le système (7) développé, en affectant successivement la lettre / des indices 1 et 2 et remplaçant duy et duy par leurs valeurs (9). On obtiendra de cette façon un système de deux équations linéaires par rap-

CALCUL I!fPII«ITriSIMAL. 7

port aux deux inconnues ûPm,, cPuy, et qui, puisque K est différent de zéro, déterminera ces deux différentielles totales du second ordre. Les valeurs tirées de ces deux équations «eront de la forme

rf«w, = C^dx} + C^dxl + C^dxl