C^dœ^dœ^ + ^C-^dx^dx^ + "iC^dx^dx

d^u^ = D^dx] + Djc/ajJ + ly^dxl

+ "SD^dx^dx^ + "iD^dx^dx^ + 'ï'D^dx^dx^,

et l'on aura enfin, pour les dérivées partielles du second ordre,

^iHa-^D ^^-D ^~D -^^^-D ^^-D -^^-D

On continuerait de même pour les ordres suivants.

9o. On peut procéder un peu autrement:

Tandis que nous avons {n° 94) calculé directement les différentielles totales pour en déduire les dérivées partielles, on peut commencer par calculer séparément les dérivées partielles ; ce calcul s'effectuera, d'ailleurs, par la règle relative aux fonctions implicites d'une seule variable.

Nous allons appliquer ce procédé au cas fort usuel d'une fonction implicite z de deux variables indépendantes x et y. On donne alors l'équation unique

et le déterminant K se réduit à ^ qu'on suppose différent de

zéro.

Il est d'usage de représenter, dans le cas qui nous occupe, les dérivées partielles :

Iz Iz l^ 2jL ^ll

respectivement par les lettres

Cela posé, pour obtenir^ et y, on différentiera Téquation donnée (11) deux fois de suite en considérant la première fois y, la seconde fois .r, comme constantes.

On aura ainsi (n* 92) :

d'où

Pour avoir r, .<?, t, on différentiera les équations (13), ou mieux les équations (12), chacune deux fois, en regardant d'abord y, puis x comme constantes ; cela ne fournira en réalité que trois équations

attendu que la diiïérentiation par rapport à y de la première des équations (12) donne le même résultat que la différentiation de la seconde par rapport à x. Ces trois équations (14) donnent, après qu'on y a remplacé p et g par leurs valeurs (13),

\?*>/ ~ DyD* Dy D;r 3^» \<>yj ?y» V^*/ |