Exemple : soit Téquation

entre les variables indépendantes a: et y et la fonction z. On a ici

^ybz

Dy ~ 6«

d'où Ton déduit, en portant ces valeurs dans les formules (13)

et (15) :

c^xy c^ [x^ — g')

Déteriniiiaiils fonctionnels

97. On nomme déterminant fonctionnel d'un système de n fonctions

w» = A (a?,, ..., Xn) de n variables indépendantes x,, ..., x.,, le déterminant

iOI

formé avec les dérivées partielles du premier ordre de ces fonctions. C'est Jacobi qui Ta introduit dans l'analyse et qui en a fait connaître les principales propriétés.

Voici la plus importante :

Pour que les fonctions î/jv-m ?'« ^^ soient pas indépendantes^ il faut et il suffit que leurdéterminant fonctionnel i soit identiquement nul^ quelles que soient les valeurs de j:,, ..., x^.

Pour fixer les idées, nous prendrons n = 3. Les fonctions considérées seront alors

et leur déterminant fonctionnel

Cela posé, si u^^ u^^ 113 ne sont pas indépendantes, il existera entre elles une relation que Ton peut supposer résolue par rapport à l'une de ces quantités, à m, par exemple ; on aura donc :

et l'on en déduira, en différentiant successivement par rapport à Xj, j:.2,a:3, les équations

do?, Du, Da?! ' Dttj <)a7|

i)W3 Da?, ^9 du.

()cp du..

darj du, da?3 ""^ duj da:.

qui, par rélimination de r^ et de r-^ » donnent

Ainsi la condition énoncée est nécessaire. Il reste à montrer qu'elle est suffisante.

Soit donc J = o, et supposons d'abord que tous les premiers mineurs (obtenus par la suppression simultanée d'une ligne et d'une colonne) ne soient pas nuls ; soit, par exemple,

Les deux dernières équations (16) «a = A (^'n ^2» «^b)

détermineront X2 et .r^ comme fonctions implicites de x^^ u^ et W3 (n* 91), et en différentiant par rapport à x^ chacune des équations (18), on aura les relations

qui, puisque Jj n'est pas nul, détermineront les dérivées partielles

C^Xo

Mais, si dans la première équation (16) on remplace les fonctions x.2 et JTg parleurs valeurs en x^, tu^ Wg,

on aura

etf par suite,

tl, =4/(07,, Mj, tt,),

Cela posé, rélimination de -^et de '—^ entre Téquation (21)

^Xi

et les deux équations (19) donne

Do?,

Dr,

^. lu ^x^ Da?,

c'est-à-dire

Gomme J est nul sans que Jj le soit, il faut que r^ soit

vXà

nul, c'est-à-dire que x^ ne figure pas au second membre de Téquation (20), laquelle se réduit à

Ut=^ (m,, U3)

et montre que ?/,, 1/2, W3 ne sont pas indépendantes.

Examinons maintenant le cas où tous les premiers mineurs de J sont nuls.

Les éléments de ce déterminant J ne pouvant être tous nuls, sans quoi les fonctions se réduiraient toutes à des constantes, nous pourrons supposer, par exemple, que

Do?, est différent de zéro.

La dernière des équations (16)

déterminera ^3 comme fonction implicite de x^^ x^^ u^\ et, en différentiant cette dernière équation successivement par rapport à ^r^ et à ^2, on aura les relations

qui, puisque r^ n'est pas nul, déterminent les dérivées partielles ^, ,^.

Mais, si dans la première des équations (16)

on remplace x^ par sa valeur en fonction de x,, x^^ ti^^ on aura

et, par suite,

Cela posé, si Ton porte dans ces deux équations les valeurs

^x ^x de r-^y ^ tirées des équations (22), on obtient

et ^^ = c»a?3 î)a7,

et, comme les seconds membres sont nuls sans que r^

ox%

DF DF le soit, il faut que ~ et -— soient nuls, c*est-à-dire que la

cXt ^^2

Da?3 ^x^

relation (13) se réduise à

Nous sommes parti de la première des équations (13) ; en partant de la seconde et raisonnant de même, on verrait qu'on a aussi

Les fonctions t/^, t/^, t/3, ne sont donc pas indépendantes.

La démonstration est instructive en ce qu'elle donne les conditions pour qu'il y ait une, deux... relations entre les fonctions W|, ..., w„.