Exemple : soient les fonctions
W| = a?, + 2a?, + ojj
Leur déterminant fonctionnel est
2a?j — a?3, 0?, + 2a?3, — a?, + 4», — ia?3
En le développant par rapport à la dernière ligne, on obtient l'expression
4(2073 — a?3) — 2(a?, + 2a?3) + 2 (- x^+Aœ^ — Ax^),
qui est identiquement nulle ; donc les fonctions proposées ne sont pas indépendantes. En outre, il est bien évident que le mineur résultant de la suppression de la dernière ligne et de la dernière colonne est différent de zéro ; donc il n'existe qu'une relation entre m^, w^, 2^3.
Il est aisé de constater que cette relation est :
ttj — «1 = 4^3.
Division de la question. — Lemme préliminaire
99. On a souvent besoin, dans le cours d'une recherche, de remplacer les variables primitives par d'autres ayant avec elles des relations données qu'on nomme formules de transformation.
Pour procéder du simple au composé, nous distinguerons quatre cas, suivant qu'il y a une ou plusieurs variables indépendantes, et selon que le changement ne porte que sur cette variable ou sur les variables, ou qu'il atteint aussi la fonction.
100. Avant de traiter ces quatre cas, nous résoudrons la question préliminaire que voici :
y étant une fonction d'une variable indépendante x, on demande d'exprimer les dérivées successives y\ y', y'", ..., de y par rapport à x en fonction des différentielles de x et de y considérées coînme fonctions d'une même variable indépendante quelconque non spécifiée.
On sait d'abord que la dérivée première y est égale au quotient de dy par dx.
En appliquant dès lors à la fraction
la règle de différenliation d'un quotient, on obtient
dy ou y'^dx = ^^^-5 ^,
d'où
dxd^y — dyd^œ ,^.
La même règle appliquée à cette nouvelle fraction donne , * », dx^ (dœd^y — dyd^œ) — Sdx^d^œ (dœd^y — dyd}œ)
d'où
„ dx [dxd^y — dyd^x) — ^d^x {dxd^y — dyd^x) .
et ainsi de suite.
On voit que y'"^ s'exprime en fonction de dx^ d^x^ ..., d"x^ dy, dhj, ..., rf'7/.
Premier problème :
changement de la variable indépendante
lOl. Soit V une expression renfermant une variable indépendante j-, une fonction y de cette variable et les dérivées successives y\ y\ y^"K Que devient Vexpt^ession V quand on substitue à la variable indépendante x une autre variable indépendante /, liée à x et à y par une relation dormée ?
On commencera par transformer, à l'aide des formules (1), (2), (3), ..., l'expression V en une autre Vj, où la variable indépendante ne sera pas désignée. V^ contiendra x, y et leurs différentielles successives, et il restera à chasser de cette expression x et ses différentielles; on y parviendra en tirant X, dx, dPx^ ..., de la relation donnée et des équations qui résultent de la différentiation de cette relation de transforma-
lion; on aura soin, dans ces difFérentîations successives, de considérer / comme la variable indépendante, c'est-à-dire de supposer dt constant.
Si la formule de transformation a la forme simple
on aura
dœ=r [t) dt, d^œ = f\t) dl\
Si la formule de transformation a la forme générale (j, (œ, y, /) = o, on aura, pour calculer dx^ cPx^ ...,les équations
etc.
