Exemple. — Quelle est la transformée de Texpression

Ra - (1 + y^f (*^^

lorsqu'à la variable indépendante a: et à la fonction y on substitue les variables p et 0 liées à x et y par les relations

a?:=pcosô, y = psinô, (11)

où 6 désigne la nouvelle variable indépendante.

Les formules (1) et (2) permettent de mettre l'expression (10) sous la forme

1 [dxd^y — dyd^xY ,.ç.

Or la première diflférentiation des relations (12) donne

dw = dpcos^ — p sinÔGÎÔ / ,^.

dy = c^p sin 6 + p cos ôrfô ; ( ^ ^

puis on a par une seconde différentiation (où dh est constant)

d^œ =z d^p cos 6 — 2dp sinôrfô — p cos ôoîô* 1 . . d'^y = o?*p sinO + 2û?p cosOû?0 — psinOrfô*. j ^ ^

La substitution des valeurs (13) et (14) dans (12) donne pour la transformée cherchée

Nous verrons plus tard que l'expression (10) est celle du rayon de courbure d'une courbe plane en coordonnées rectilignes rectangulaires. On sait, d'ailleurs, que les formules (11)

sont celles qui lient les coordonnées rectangulaires a: et y

aux coordonnées polaires p et 6; l'expression (15) est donc

celle du rayon de courbure en coordonnées polaires.

Il y a souvent avantage à introduire, dans les formules

relatives aux coordonnées polaires, l'inverse /•= -du rayon

vecteur au lieu du rayon vecteur lui-même.

Pour avoir la transformée de la formule (15) dans cette

hypothèse, il suffit de substituer dans celte formule les

valeurs

— i £(e___i^ c/^p 1 d^r 2 /dry ^ r d^~' r^ db' ofO» ~ H e/ô^ +r» \rfô7 '

ce qui donne