ST

105. 11 arrive parfois que les relations de transformation contiennent des différentielles. Voici un exemple de ce cas.

Considérons la formule (10) ou plutôt la transformée (12) dans laquelle la variable indépendante n'est pas spécifiée, et supposons qu'on choisisse cette variable indépendante s telle que Ton ait :

dx^ + dy^ = ds^. (17)

La dilférentiation de cette relation donne (en observant que, s étant la variable indépendante, on a d-s = o)

dœd^x -\- dyd^y = o.

On a d'après cela

{dxd'^y — dyd^xf^ = {dxd^y — dyd^x)^ + {dxd^x+ dyd^y)^ = {dx^ + dy^) [[d^x)^ + [d^yY] = ds^ [[d^xY + [d^y)^],

112 CHAPITHE VIII

et, par suite, en vertu de (12),

formule élégante et souvent utile.

106. Nous terminerons ce qui est relatif au second problème par la question suivante qui en est un cas particulier important :

Les deux variables x et y étant des fonctions bien déterminées Vune de Vautre^ exprimer les dérivées de y par rapport à x en fonction des dérivées de x par rapport à y.

Les formules (1), (2), (3),.,., résolvent la question ; il suffit d'y faire dy constant, c'est-à-dire d'y = o, cPy = o^ ... ; on obtient ainsi

^•__L, „« ËVL, , dydy^- W) ,^^.

Ti*oisièine piM>bIëinc : changement des variables indépendantes