Soit

une expression contenant deux variables indépendantes x et y, une fonction z de ces variables et les dérivées partielles des divers ordres de cette fonction. On demande ce que devient l'expression V lorsque^ aux variables indépendantes X et y^ on en substitue deux autres u et v liées aux premières par deux relations données

Ces deux formules de transformation donnant a: et y en fonction de u et de r, il ne s'agit en somme que d'exprimer les dérivées partfelles de z par rapport à j: et à y en fonction des dérivées partielles de z par rapport à m et à r.

Cherchons d'abord les dérivées du premier ordre

^, h Considérons à cet effet les éffalités

dj2^ z=^:r- du 4- r- dv \

et les relations

hAdx + ^-^dy + ^^dui-^dv = o ] ox * cy "^ ^ ^u ' t>y f

ex ' Ou I

que Ton obtient en différentiant totalement les formules de transformation (21). Eu éliminant dz^ du et (/rentre les quatre relations (22) et (23), on tombera sur une égalité

Adx + Udy = o, (24)

dont le premier membre est linéaire et homogène par rapport à dx eidt/ et qui devra être une identité, puisque les variables x etf/ sont indépendantes. Cette identité équivaut donc aux deux équations A = o, B = 0, qui, étant linéaires

par rapport à^? ^» donneront sans difficulté les expressions

de ces dérivées en fonction de r" et 7^- Pour trouver les dérivées du socond ordre

CALCUL IXFI.MTÊSIMAL.

on différenliera totalement chacune des relations (23) en considérant dans cette opération dx et dy comme constants. Entre les deux relations ainsi obtenues

+ 2 "P^ dxdy + 2 ^ dxdu + 2 ^ dœdv+% ^ (/y rfw + 2 ^ rfyrft; + 2 J^< dudv 4-^ d^u + ^ d^v =zo i

et les égalités

dU = '^,du* + ^l^^dudo^'^,dv* (26)

on éliminera rf'5, d-u, ^'t^etTon remplacera en outre rfw et rfw par leurs valeurs tirées des équations (23). On tombera de la sorte sur une égalité

Pdœ^ + "iSdxdy + Qdy^ = o

homogène et du second degré par rapport à dx et à dy, et qui, devant être identique, équivaudra aux trois équations P = o,S^= o, Q =^o; ces équations sont d'ailleurs linéaires par rapport à

Daj^' ^x^y dy^^

elles donneront donc sans difficulté les expressions de ces dérivées partielles en fonction des dérivées partielles de z par rapport à w et à t;.

On continuerait de mime pour les dérivées du troisième ordre, ..., etc.