Nous avons supposé qu'il n'y avait que deux variables

indépendantes; mais le procédé s'applique évidemment au cas

où le nombre n des variables indépendantes est quelconque;

les formules de transformation doivent alors être au nombre

de n.

1 09. Remarquons encore que la méthode resterait la même si la fonctions; figurait dans les formules de transformation qui seraient de la forme

<p<(^, yi «, ^^ ^) = o, ^i{x, y, w, r, ^) = o;

il faudrait alors ajouter respectivement dans les relations (23) les termes

e t dans les relations (24) les termes qui proviennent de la difTérentiation de ceuxrlà.

1 lO. Exemple.— On demandeceque deviennent les expressions

lorsqu'au lieu de x ety on prend pour variables indépendantes les quantités p et 6 liées aux premières par les formules

0? = f cos ô, y = p sin 8. (29)

La dififérentiation de ces deux relations donne

dx = rfp. ces 6 — p sin ôd

dy = rfp. sin Ô + p cos 6(f0 ( ^

que l'on peut écrire, en résolvant par rapport à rfp et e/6,

dû = cos hdx + sin Orfy

û?ô = — - sin 6 cte + - ces ôrfy. ^ '

En substituant ces valeurs dans Tégalité

— dx + ^ dy = ^ ap + Trai, on obtient l'identité

d'où Ton tire, en annulant les coefficients de dx et de dy,

r- = cosô Y — " sinO-T- J

r- =SinO-r- +- COSÔrr-

On déduit de là immédiatement, pour la transformée de l'expression V,

Pour transformer l'expression V, il faut calculer les dérivées du second ordre —r,» -r^r

A cet effet on différentiera les relations (30) ou (ce qui est équivalent et plus simple) les relations (31) en laissant, bien entendu, dx et dy constants. On trouve ainsi immédiatement les valeurs

qui portées, en môme temps que les valeurs (31), dans l'égalité

^, dx^ + 2~ dxdy + ~i dy'

donnent l'identité

\Jœ^ ^p^ ^ p Vî^pDO p ^e / Vp <^ô' P ^p/

. ^aP'^ . 5.^*^ sin20/D2;r 1 ^^\ o^/l^*^ , 1 2)^\

+ c?a?dy I I = 0.

En égalant à zéro séparément les coefficients de dx-, dy^ et de dxdy^ on a trois équations qui donnent respectivement

les valeurs des trois dérivées partielles^,» ^5 — ^« Les deux premières nous importent seules puisque *^

ne figure pas dans l'expression V^ ; c'est pourquoi nous n'avons pas calculé le coefficient de dxdy dans Tidentité cidessus. Pour avoir V|, il suffit d'ajouter les deux relations que Ton obtient en égalant à zéro les coefficients de dx- et de dy'^, ce qui donne finalement

__^ 1^ 1 ^f ' " t>a +pa;>02 ^p ^p'

111. Par un calcul semblable, mais un peu plus long, on trouverait que les expressions

deviennent respectivement

Dp» "•" p» 5.j,« "•" f^sin»^ cVj2 ' p Dp + p» D-f'

lorsqu'on pose

X ■=! 0 e\n^ cosO. y = p sinif' sin9, * =: p cos'},

c'est-à-dire lorsqu'aux variables indépendantes a:, y, s (coordonnées rectangulaires d'un point de l'espace) on substitue les variables p, w, 6 (coordonnées polaires du même point).

Les expressions (33) et (34) jouent un rôle important en analyse : on leur donne, d'après Lamé, les noms de paramètres différentiels du premier et du second ordre de la fonction H.

Ces paramètres jouissent de cette propriété remarquable que leur forme n'est pa^s altérée par une substitution orthogonale ; en d'autres termes, les expressions (33) et (34) deviennent respectivement

lorsqu'au lieu de u?, y, z on prend pour variables indépendantes trois autres variables w, y, w liées aux premières par les formules

œ := au -\- hv -^ cic \

y = au + b'v -f- o'w \ ^39)

dans lesquelles a, b, r, à, b\ c\ a\ b\ c" désignent des constantes choisies de telle sorte que l'on ait identiquement

condition qui entraîne évidemment les relations

«2 + a» + a"' = 1, ô«-fô'2+ô"» = l, c>+c'>+c"> = l . ., ahJ^a:h'^ci'V = o, ôc+yc'+6V=o, ca+cV+cV=:o. ^ ^

Pour démontrer cette propriété des paramètres différentiels, il suffit d'appliquer la théorie du changement des variables indépendantes (n** 124).

A cet effet, mettez d'abord les formules de transforma-

lion (39) sous la forme

u =z ax -]- ay -\- a"z \

v = bx + h' y + ¥2 I w =: ex -\- cy -{- d'z ; )

il suffit pour cela d'ajouter les équations (39) multipliées respectivement d'abord par a, b, r, puis par a\ b\ c\ enfin par a\ b\ c", et de tenir compte des conditions (41).

Cela fait, différentions une première fois les relations (4r2), ce qui donne pour rfw, di\ div les valeurs

du = adx -f- ddy -f- ol'dz dv = bdx + h'dy -f h"dz dw =. cdx + c'f 'y + eV^,

qui, portées dans

rfH

^- dx + -r- du -\- xr- d;a! ■= ^^ du -\- T— rfe 4- T— dw,

donnent Tidentité

+ dz et, par suite,