DH DH , ^ DH , DM

t)y OU * OV ' OlC

OZ JM ' Ov OlO

En faisant la somme des carrés et tenant compte des rela-

tions (41), on trouve pour le paramètre différentiel du premier ordre la valeur (37).

Actuellement, différentions les relations (43) en considérant dx^ dy^ dz comme constants; on obtient ainsi

û?3w = o, d^v = o^ d^io =0f en sorte que, dans la relation

-4- 2 T-r- dudv + 2 r-r;- dvJio + 2 r--r- dtcdx ' oûèv ovcw oioooc

+ T— d^u 4- TT- dH + T-d^io,

les trois derniers termes disparaissent ; si Ton porte dans cette équation les valeurs (43) de du^ dv, du\ on tombe sur l'identité

+ ''y'Lv~ 5i^~ ^~ 5;^" 3^«

ovow OWOUJ

-f- c/a:c?î/ [ ] + dydz [ ] -f- dzdx [ ] = o /

De là résultent six équations qu'on obtient en égalant à zéro chacune des parenthèses précédentes; les trois dernières sont inutiles pour notre objet, c'est pourquoi nous ne les

avons pas calculées ; les trois premières donnent respectivement les expressions de

ç^ ^fH ^

et il suffit d'ajouter ces trois expressions en ayant égard aux relations (41) pour obtenir l'expression (38) du paramètre différentiel du second ordre.

Quatrième problème : eliangemeiit des variables indépendantes et de la fonction

lia. On demandf* ce que devient ^expression

lorsque^ aux [variables indépendantes x et y et à la fonction 2, on substitue deux nouvelles variables indépendantes u et V et une nouvelle fonction u\ étant données trois relations

?i (^» Vy ^1 ^^ ^^ «^) = o» ?2 (^» y^ ^7 ^1 »^ «^) = o» ^2in

entre les trois iiouvelles variables u, r, u\ et les variables primitives x, y, z.

La marche à suivre est analogue à celle du cas précédent.

Pour que le lecteur saisisse mieux la ressemblance et la différence, nous conserverons autant que possible la rédaction du n* 107, en n'y introduisant que les modifications nécessaires et donnant aux équations correspondantes les mêmes numéros accentués.

Les formules de transformations (21') donnant Xy y, 5, en

fonction de w, r, w% il ne s'agil, en somme, que d'exprimer les dérivées partielles de z par rapport à ^ et y en fonction des dérivées partielles de w par rapport à i/ et à r.

Cherchons d'abord les dérivées du premier ordre

vZ vZ

Considérons, à cet effet, les égalités

dw—^du-\-'^dv (2^)

et les relations

^rfa;+ =0

que Ton obtient eu différentiant totalement les formules de transformation (21'). En éliminant dz^ du\ du, dv entre les cinq relations ^22'), (22') et (23), on tombera sur une égalité

Adx + Bdy (24')

dont le premier membre est linéaire et homogène par rapport à (U et df/ et qui devra être une identité puisque les variables x et y sont indépendantes. Cette identité équivaut donc aux deux équations A = o, B ^o, qui, étant linéaires

par rapport à ^j ~-> donneront sans difficulté les expressions

de ces dérivées en fonction do -— et de^--

^î( Dr

Pour trouver les dérivées du second ordre r-^,' c~T~' r^»

on différentierd totalement chacune dos relations (23') en

considérant dans cette opération cfxei rfy comme constants. Entre les trois relations ainsi obtenues

Dx.'+ =°

ha.

Sa;* ^

et les égalités

rf.„ = ^rf^i + 2 |!f d« rf» + ^ d,« (26')

on éliminera dh^ d*u, d'v^ dhi\ et Ton remplacera, en outre, dw^ du, dv^ dz par leurs valeurs tirées des équations (22") et (23'). On tombera de la sorte sur une égalité

Tdœ^ + ^Sdœdy + qdy^ = o,

homogène et du second degré par rapport k dx et h d// et qui, devant être une identité, équivaudra aux trois équations

Ces équations sont d'ailleurs linéaires par rapport à

elles donneront donc sans difficulté les expressions de ces dérivées partielles en fonction des dérivées partielles de ic par rapport à m et à r.

On continuerait de môme pour les dérivées d'ordre supérieur au second.