Exemple. — Que devient l'expression
^^^ ^2 2' Ts^z
a^ ;lJ + 9«iJ£ + ôai4, (47)
lorsqu'aux variables indépendantes x et y et à la fonction :; on substitue les variables indépendantes h et v et lafonctionto définies par les relations
u = axy V = ùi/y 10 = ax -\' bv + cz^ (48)
a, è, 6- étant des constantes données?
On a
du = adXy dv = bdj/^
dio = adx + bdy + cdz = (a -{- c \-\ dx + (ô + c 5^ )^/y, et, par suite, la relation
dw =: —- du -\- -r-dv
On ' co
devient
(a + c g) d.'+[b + c I) di/=a'^dx^b'^dy;
cette équation se décompose dans les deux suivantes
a + c^ = ar-9 b 4- c r- = ô r— (50)
' ox ou ' oy ov
Différentions totalement la première, il viendra
C ac- =: a dr—1 ox ou
CHANGEUBNT DE VARIABLES 125
c'est-à-dire
équation qui se décompose dans les deux suivantes
On trouverait de môme en partant de la seconde équation (50)
On a donc pour la transformée de l'expression (47) Autre méthode
114. La solution que nous venons de donner, pour les questions relatives aux changements de variables, est fondée sur la considération des différentielles totales. C'est en général la meilleure marche à suivre. 11 est cependant avantageux parfois d'employer un autre procédé fondé sur la considération des dérivées partielles et qui, vu l'importance pratique des problèmes en question, ne doit pas être passée sous silence. Nous allons expliquer brièvement cette autre méthode en nous bornant au cas général oîi l'on change à la fois les variables indépendantes et la fonction ; nous conserverons d'ailleurs les notations du n° 112.
::, étant une fonction de a? et de y qui dépendent ellesmêmes de II et de v, est une fonction composée de ces nouvelles variables ; on a donc, d'après la règle de dérivation
des fonctions composées,
On en déduit ensuite, en différentiant successivement par rapport à ?/ et à v et observant que ^ et ^ dépendent de jr et de y qui sont à leur tour des fonctions de u et de r,
<)^.ff D^^ i)cr ^ ^^z /^œ *!^ 1^ ^ ^\ 1^ ^^ ^ ^
Les équations (A) et (B) sont linéaires par rapport aux inconnues
nnerc
>nt ces quantités lorsqu
on y aura rempi
Tu'
il*
par leurs valeurs en fonction de
cV'
valeurs que Ton tire des équations obtenues en différentiant successivement par rapport à w et à i; lès équations de transformation (21), et allant jusqu'aux dérivées du second ordre inclusivement, c'est-à-dire jusqu'aux dérivées de même ordre que les dérivées les plus hautes qui figurent dans l'expression (20').
Appliquons cette méthode à l'exemple du n* U3.
Les formules de transformation sont ici
elles donnent, par différentiation,
?»z 1 ?'tr ?»» ~ c ?»»
En portant ces valeurs dans (A) et (B), on obtient immédiatement les valeurs
^z a» ^w l!^^z ah ^w ^z b^ D*îr
d'où résulte, pour la transformée de l'expression (47), la valeur déjà trouvée au numéro précédent.
Transformation de Legendre
115. Nous terminerons ce chapitre par quelques mots sur une transformation due à Legendre; cette transformation, qui trouve son emploi dans le calcul intégral, va d'ailleurs nous offrir une nouvelle application des principes précédents.
Désignons, suivant un usage reçu, respectivement, par
fÎAll
lieu
es
d'une fonction ;; de deux variables indépendantes x et y.
La transformation de Legendre consiste à prendre pour nouvelles variables indépendantes y; et q et pour nouvelle fonction
Il s'agit de calculer les dérivées r, v, /, en fonction des dérivées
Or on a
^10 'bw ^ho 'è^ic 'b^ic M^.
dz = pdx -{- qdy (54) |
dp = rdx + sdy (^^) j
dq =z sdx + tdy] (56) '
et I
dw =2 xdp + i/dq -f- P^x + qdy — dz, i
qui, à cause do (51), se réduit à
dw = xdp + 1/dq ;
on voit par là que
hc ^w ,„,,
-— =x, --- = y, loi]
dp ' *>q ^ ^ '
D'ailleurs, en résolvant (55) et (56) par rapport à dx et rfy,
on a
dx = i dp r do^
Tt — s^ ' rt — s^ ^
dy =1-^ — 1 dp + -=; ; dq,
^ ri, — 5^ ^ ' rt — <* ^'
ce qui donne
"bx t ^x ?y — 5 ^ r
Dp rt — s^ ^q Dp rt — s^ 'bq rt — s^
OU, en vertu de (57),
T^ho
t D^MJ
D»io
D/3* r^ — s* bp^q rt — s^ Dg' rt — *^ '
on en déduit
et enfin,
DH^ D^ /D»K?y 1
Dp* DpDç Dgr* Dp' D^r* \^p^q/
CALCUL INPlKITéSIMAL.
Définitions
116. On donne le nom de série à toute suite illimitée de quantités se succédant suivant une loi déterminée, mais d'ailleurs quelconque.
Une série
W|, u^, ..., «„, est dite convergente lorsque la somme
S„ = w^ + n^ + ... + Un
de ses n premiers termes tend vers une limite déterminée, et par conséquent finie , à mesure que le nombre n croît indéfiniment. Cette limite S est dite \di somme de la série, et Texpression S — S„, que l'on désigne habituellement par R„, reçoit le nom de reste.
On appelle série divergente toute série qui n'est pas convergente.
117é Comme premier exemple de série, nous citerons la progression géométrique
a, aq, aq\ ..., aq^, ... (1)
Elle est convergente lorsque la raison q est, en valeur
absolue, inférieure à Tunité; car la formule connue
montre que, dans cette hypothèse, S^ a pour limite
puisque q" tend vers zéro lorsque n croît indéfiniment.
Dans tout autre cas, la progression est une série divergente. En effet, si q est, en valeur absolue, supérieur à 1, la formule (2) montre que S„ croît indéfiniment avec n. Il en est de môme pour y = + 1, car tous les termes de la série sont alors égaux à a, et Ton a S„ = an. Enfin pour q = — 1 la série devient
et S,„ étant égal à zéro ou à a suivant que n est pair ou impair, n*a pas de limite déterminée; il y a donc encore divergence.
1 18. Comme second exemple, nous considérerons la série
à laquelle on donne le nom de série harmonique.
En groupant les termes, à partir du troisième, de la manière suivante :
on voit que chaque groupe a une valeur plus grande que -- Donc, quand n croît indéfiniment, S„, renfermant la quan-
iîté - autant de fois qu*on veut, finit par surpasser toute limite ; la série tiarmonique est donc divergente.
IIO. Pour quun" série soit convergente^ il faut que le terme général m„ tende vers zéro lorsque n croit indéfiniment.
En effet, S étant la somme d'une série convergente, S„ el S„ 4- , ont Tune et lautre pour limite S, et par suite leur différence, c'est-à-dire w„, a pour limite zéro.
Mais la condition n'est pas suffisante^ témoin la série harmonique 2) qui est divergente n** US-, bien que son
terme général - tende %'crs zéro quand n croit indéfiniment .
Caractère général de convergence
1d20. Pour qu'une série soif convergente, il faut et il suffit que, pour toute valeur entière et positive de p, la différence S„|.p — S„ tende vers zéro quand n croit indéfiniment,
1* La condition est nécessaire; car, si S désigne la somme d'une série convergente, S„ el S„^p ont Tune et l'autre pour limite S lorsque n croît indéfiniment, et par suite leur différence a pour limite zéro ;
2" La condition est suffisante.
En effet, par hypothèse, à tout nombre s positif et aussi petit qu'on veut répond un nombre entier et positif v tel que Ton ait, pour toutes les valeurs entières positives de /),
OU
cela revient à dire qu'on a
pour toutes les valeurs de n supérieures à v.
Cela posé, attribuons successivement à s des valour?^ ;,, ca, £3, ..., indéfiniment décroissantes, et soient r|, r.n r^^ ., les valeurs correspondantes de r.
Désignons en outre par A^ la plus grande des quantiti'^s
et par B^^ la plus petite des quantités
On aura, d'après (4), pour toutes les valeurs de yisiïiu'iiouii's à la fois à Vj, i\„ ..., v^^
et pour démontrer que S„ a pourn infini, une limitf^ (li'lnminée, il suffit de montrer que, lorsque/»; croît indtUiii i mm l^ Afc et B^ tendent vers une même limite.
Or, lorsque A: augmente, A^t ne décroît pas et resto supérieur à Bj, tandis que B,, ne croît pas et reste supérit^ur h A| : Afc et B/t ont donc chacun une limite déterminé*'. i^L cen deux limites sont égales, puisqu'on a
Ba- — A;fc < (S., + Ij,) — (S,, — e,.) < 26,,
et que s^ tend vers zéro lorsque A augmente indéfi ni mm L.
121. L'importance de ce théorème, au point de vin' tln'arique, ne doit pas faire illusion sur sa portée praliqiH' : s H intervient utilement dans la démonstration de certaines |hopositions, il est d'un emploi peu commode pour rrnfhtinïiitrc la convergence ou la divergence d'une série donmo, Pnur atteindre ce dernier but, le procédé le plus fécond ci vn^ïste, sans contredit, dans la comparaison delà série propn-rr avec des séries dont on connaît la convergence ou la diviigein e. De cette comparaison résultent diverses règles dont nous nous bornerons à indiquer les plus usuelles ; d'aillenr^i, jnR-
qu'au n* 136, il ne sera question que des séries dont tous les termes sont positifs.
Premières notions sur les séries dont tous les termes sont positifs
1I22. Pour démontrer qu'une série à ternies positifs est convergente^ il suffit de prouver que la somme S» des n premiers termes reste^ à partir d'une certaine valeur de n, inférieure à un nombre fixe. Car S„, croissant avec n et restant moindre qu'un nombre fixe, a une limite déterminée.
123. Il résulte de là (\ii\ine série U à termes positifs est convergente si ses termes sont moiiidres respectivement que ceux d'une autre série U' à termes positifs et convergente. En effet, la somme S„ des n premiers termes de la série U est alors moindre que la somme S„' des n premiers termes de la série U', et, par suite, moindre que la somme S de cette dernière série.
De même, une série U à termes positifs est divergente^ si ces termes sont respectivement plus grands que ceux d'une autre série U' à termes positifs et divergents, car S„, croit indéfiniment avec n, puisqu'elle reste supérieure à S^', qui, par hypothèse, croît au-delà de toute limite.
Voici quelques applications de ces principes.
