La série

OÙ a désigne un nombre positif quelconque, est convergente si a est plus grand que 1, et divergente si a est égal ou inférieur à 1.

En efifet :

Soit d'abord a > 1, et posons

la série

proposée deviendra

mais on a évidemment

Mî<2.

ga-l

les termes de la série (6) sont donc respectivement moindres que ceux d'une progression dont la raison

est inférieure à 1, puisque, a étant > 1, 2*~* est plus grand que lunité. Il y a donc convergence (n<* 123).

Dans le cas où a = 1, la série (5) n'est autre que la série harmonique dont on a démontré la divergence aun"^ 118.

Soit enfin a < 1 ; on a alors

par suite, les termes de la série (5) étant supérieurs aux termes correspondants de la série harmonique, il y a encore divergence (n° 123).