La série

21og2 31og3 4log4' *' nlogn'

est divergente.

En effet, si Ton pose

' "~21og2 ^^""3 1og3"*"41og4'

5 logo ^ *" ^8log8

* 9 1og9^ ■■ ^16 1ogl6' la série proposée deviendra

mais on a évidemment

» ' 4 log 4 "^ 2 2 log 2' 4 1 1 ,

"» ■^81og8-^3'21og2'

"* '^161ogl6'^4 21og2 '

Les termes de la série (8) sont donc respectivement plus grands que ceux de la série harmonique multipliés par le

facteur ^-j — s î •! y a donc divergence (n* 123).

1 26. Une série à ternies positif s est divergente si mi^ tend^ pourn = 00, vers uneli?nite X plus grande que zé?'o. En effet, q désignant un nombre fixe pris à volonté entre 0 et a, on

aura, à parlird'uncertainrang,/ï?/„>y,d'oùw„>'-^> les termes

de la série seront donc plus grands que ceux de la série

harmonique multipliés par le facteur-; il y a donc divergence (n** 123).

Règles de d'Alembei*! et de Cauehy

127. Une série à termes positifs ?/,, Uo, ..., u,^^ ..., est convergente si le rapport

d\m terme au précédent tend^ lorsque n croit indéfiniment^ vers une limite X inférieure à Viinité ; elle est divergente^ si le rapport (9) a une limite X plus grande que Cunifé,

En effet, désignons par q un nombre fixe pris à volonté entre 1 et X.

Si X est plus petit que 1, le rapport (9) sera, à partir d'un certain rang /i, aussi voisin de X qu'on voudra et par suite inférieur h, q. On aura donc

''« + < < q ' MiM

'^;i + 3 < q . Ww + 2 < Q^ • ^n.

Par suite, à partir d'un certain rang, les termes de la série considérée seront inférieurs aux termes corres-

pondants de la progression géométrique décroissante

il y aura donc convergence (n" 1 17 et 123) (*).

Si X est plus grand que 1, le rapport (9) sera, à partir d'un certain rang, supérieur à y, et comme q est plus grand que 1 ; les termes iront donc en augmentant, et il y aura divergence, puisque le terme général ne tendra pas vers zéro.

La' règle précédente, attribuée à Dalembert, n'apprend

rien dans le cas où le rapport (9) a pour limite Tunité. La

série peut être alors soit convergente, soit divergente. Par

exemple, si Ton considère la série dont le terme général est

- et celle dont le terme général est — » on sait (n" 12i) \ae la

première est divergente et que la seconde est convergente; et, pourtant, dans les deux cas, le rapport (9) a Tunité pour limite.

Il importe toutefois de remarquer que, si le rapport (9) tend vers 1 en restant à partir d'un certain rang supérieur à 1, la série est divergente ; car les termes finissent par aller toujours en croissant.

128. Une série à termes positifs W|, Wo, ..., w«, •-., est convergente si l'expression

y/^ (iO)

tend^ lorsque n croît indéfiniment^ vers une limite X inférieure à l'unité. Elle est divergente si ce rapport a une limite plus grande que l'unité.

En effet, soit q un nombre pris à volonté entre 1 et X.

Si X est moindre que 1, l'expression (10) sera, à partir d'un

(n On voit que notre énoncé est plus restrictif que la démonstration; le raisonnement ne suppose pas en effet que le rapport (9) ait une limite; il ne lui impose que la condition de Gnir par reste inférieur à un nombre flxe moindre que l'unité. Mais l'extension qu'on peut ainsi donner à l'énoncé, et qui mérite d'être signalée au point de vue théorique, n'a en réalité aucune importance pratique.

certain rang, inférieure à y ; on aura donc

et il y aura convergence, puisque les termes seront, à partir d'un certain rang, inférieurs à ceux de la progression géométrique décroissante y, ^2» ^3 •••i 9n» •••

Si X est plus grand que 1, Fexprcssion (10) sera, à partir d'un certain rang supérieure k g \ on aura donc Un > <^", et par suite la série sera divergente, puisque, g étant supérieur à 1, son terme général w„ croîtra au lieu de tendre vers zéro.

Cette règle, attribuée à Cauchy, laisse comme celle de Dalembert un cas douteux, c'est celui où l'expression (10) a pour limite l'unité; toutefois on peut affirmer qu'il y a divergence, lorsque l'expression (10) tend vers 1 en restant à partir d'un certain rang supérieure à 1 .