Exemples
V Soit la série
X x^ od^ . a?'*
r 2' j + "" iT' "*'
où X rcpréseate un nombre positif. On a
Un W + i
et par suite
lim * == X ;
la série est donc convergente si j: est > 1, et divergente si a: est < 1. On sait d'ailleurs qu'elle est encore divergente pour a:= 1, puisqu'elle se réduit alors à la série harmonique.
2° Soit la série
Le rapport -^^ a ici pour valeur alternativemenl 2 et -;
tffi c
il n'a donc pas de limite déterminée, et la règle de Dalembert n'est pas applicable. Mais, pour Vu„^ on trouve
2^ = - SI « est impair, et
y/- = — ^1 sm est pair;
on a donc bien vw„ = -^ et, par suite, en vertu de la règle de Cauchy, la série est convergente.
130. L'exemple qui précède montre que l'expression su„ peut avoir, pour n = oc , une limite déterminée, sans qu'il
en soit de même du rapport —^^'
lin
Mais la réciproque n'est pas vraie. Si le rapport — ^±1
lift
a une limite déterminée X, pour « = oo , l'expression \'U^ aura aussi une limite déterminée, et cette limite sera précisément égale à X.
En effet, d'après l'hypothèse, le raport -^^ reste, à partir
d'une certaine valeur de n, compris entre X — s et X + -, e étant un nombre positif aussi petit qu'on veut. On peut môme supposer cette valeur de n égale à l'unité (cela revient à supprimer en tête de la série un nombre fini de termes). On aura donc
d'où en multipliant
ou
ce qui montre que ^u^ a pour limite X, puisque y^f, tend vers Tunité.
Règle de Kuminer
131. La règle de Dalembert n'est qu'un cas très particulier d'une proposition due à Kummer et fertile en conséquences relativement à la convergence des séries. Voici cette proposition :
Soit a,, une fonction posiliie de n. La série à termes positifs ï/j, w,, ..., Un. ..., est convergente^ si l'expression
a„^^ — au + ^ (li)
a. pour ;i= X , une limite positive X. Elle est divergente^ si
r expression (li) a une limite négative et si, de plus, la série
çui a pour terme général — est divergente.
En effet, soit q un nombre choisi à volonté entre o et X> L'expression (11) sera, à partir d'une certaine, valeur jt> de n, supérieure à q, et l'on aura
on en déduit par addition
S« — Sp < - [apUp — a„M„),
et a fortiori
S, < Sp + - apUp.
La somme S„ reste donc, quand n croît indéfiniment, inférieure à une quantité fixe positive, et par suite (n" 123) la série est convergente.
Pour démontrer la seconde partie du théorème, il suffit d'observer que, si Texpression (H) a une limite négative, cette expression restera négative à partir d'une certaine valeur p de n, en sorte qu'on aura
QpUp < ^ip+,t<px, < ... < «„w„;
d'où Ton déduit
u„ > apUp . -;-• «Il
Les termes de la série considérée sont donc, à partir d'un certain rang, supérieurs à ceux de la série
et comme cette série est supposée divergente, la série proposée Tost aussi.
ICIIi. Le théorème de Kummer fournit une infinité de règles particulières, suivant le choix que Ton fait de la fonction positive «„. Nous nous bornerons à citer les plus intéressantes : ce sont celles où Ton prend pour a„ Tune des quantités
1, n, nlogn;
dans chacun de ces cas, la série qui a pour terme général •—
est évidemment divergente, comme l'exige d'ailleurs la seconde partie de la règle de Kummer.
1* Pourû„= 1, Texpression (11) se réduit à
Ji2-^\,
Or, dire que cette expression a une limite positive ou négative équivaut à dire que le rapport '' ^ ' a une limite infé-
rieure ou supérieure à lunité; on retombe donc sur la règle de Dalembert.
2" Pour a^ = m, Texprossion devient
n-^-ln+i), (12)
et Ton tombe sur une règle due à Duhamel. 3" Pour rt„ = n log /è, l'expression (11) devient
n logn . (-i^) - (n + 1) ]c)g(n + 1), ( et l'on retrouve ainsi une règle due à M. Bertrand.
l<è€|lc de l«aiiï!»s
llili. Nous avons déjà fait observer que l'on ne pouvait rien affirmer sur la convergence ou la divergence d'une série
à termes positifs, lorsque le rapport " ^ * avait Tunité pour
Un
limite (sans finir par rester toujours supérieur à cette limite).
Gauss à donné pour lever ce doute une règle très simple, relative au cas où le rapport en question s'exprime par une fraction rationnelle de n. Ce cas, fréquent dans la pratique, est moins particulier qu'on serait tenté de le croire au
144 CHxVPITRE IX
premier abord, si Ton oubliait de remarquer qu'il n est nullement question ici des valeurs de u^ et de tin ^u mais seulement de leur rapport.
Puisque le rapport a pour hypothèse l'unité pour limite, le numérateur et le dénominateur de la fraction rationnelle qui l'exprime doivent être des polynômes ayant môme degré et même premier terme ; et dès lors, en divisant haut et bas par le coefficient de ce premier terme, on voit que le rapport considéré doit être de la forme
n^+ an^'^ + 6w^-g +
u^ — n^ + An>-^ +Bn^-2-f ...
Cela posé, voici l'énoncé du théorème de Gauss : Pour qu'une série telle que le rapport iVun terme au précédent ait la forme (14) soit convergente^ il faut et il su^t que la différence A — a soit plus grande que l'unité.
1^4. On peut mettre la relation (14) sous la forme Uu . , A — a . H
H étant une fonction de n qui reste finie lorsque n croît indéfiniment, et substituer à la règle de Gauss la suivante qui est un peu plus générale :
Si l'on a
h désignant un nombre et H une fonction de n qui reste finie, la série à termes positif s W|, ..., w„ ..., est convergente lorsque h est supérieur à i et divergente lorsque h est égal ou inférieur à 1.
La démonstration est une simple application des règles du numéro précédent.
En effet, d'abord, eu égard à la formule (15), l'expression (12, n" 132) devient
d'où Ton voit que cette expression a pour limite h — 1, et par suite (n* 133), que la série est convergente pour A >► 1 et divergente pour A < 1.
Supposons maintenant A = 1, auquel cas l'expression (15) devient
Un . , 1 . H
et par suite l'expression (13, n"* 132) se réduit à
cette expression ayant pour limite — 1, la série proposée est divergente (n** 133).
