Exemples

1° Soit la série

On a ici

Un n + 1

cette expression comparée à (14) donne a — -lî A = 1,

et par suite A — a = .^; la série est donc divergente (n^ 133j. 2" Soit la série dont le terme général est

on a

ji, (2n + 4)(2n + D) ^' + j "" "^' ^ u.:r (2n + 3)^ -,. + :,,+ ?'

cette expression, comparée à (14), donne

et par suite A — a = -\ la série proposée est donc convergente (n^ 133).

Série alternée

136. Quand les termes d'une série sont alternativement positifs et négatifs, on dit que la série est alternée.

Une seine alternée est convergente si, à partir cViin certain raîig, chaque terme est inférieur en valeur absolue à celui qui le précède, et si le terme général ^/„ tend vers zéro lorsque n croît indéfiniment.

En effet, faisons abstraction des termes qui précèdent le premier terme positif à partir duquel la loi se manifeste, et mettons les signes en évidence ; la série considérée sera alors représentée par

w< — «^2-1-^3 — ^4 + ••• ±w„qpM;, + | d=... î^, ^2, ..., étant des quantités positives, telles que Ton ait

et

W( > Wa > ^3 ••• > w„ > w„ + , < . limM„=:o pour n = oo.

Les relations évidentes

oii les signes supérieurs se correspondant, ainsi que les signes inférieurs, montrent que les différences S„^i — S„, S„+i — S„i ont des signes contraires, puisque t^„ + j et

{h„ — iin + i) sont, par hypothèse, posilives. En d antres termes, les sommes successives Sj, So, ..,, S,,, ,., sont telles que chacune d'elles est comprise entre les deux qui la précèdent immédiatement.

Représentons ces sommes par des longueurs