OA^, OA,, ..., OA
portées sur une même droite, à partir d*iin niÉ^me point 0 et dans le même sens OX. (Nous laissons au lecteur le soin de faire la figure.) D'après ce qui vient d'être dit, An tomhera entre 0 et A|, A^ tombera entro A^ et A,^ A. entre A.> et A3 ... et ainsi de suite. Les sommes de rang pair ,S.> = OA2, S/^ = OA,^ ... iront donc en crnissant et resteront moindres que Tune quelconque des sommes de rang impair; elles auront donc une limite L. De môme les sommes do rang impair S| = OAj, S.^ = OAj ... iront en décroissant et resteront supérieures à Tune quelconque des sommes de jang pair; elles auront donc aussi une limite L\ Enfin les limites L et L' seront égales en vertu de la relation {itî), puisque par hypothèse u„yi tend vers zéro. La série proposée est donc convergente et a pour somme la valeur commune S de L et de L'.
Ïtl7. Il résulte de cette démonstration (jue toute 5r>mme de rang pair est une valeur approchée de S pur défaut, landis que toute s )mme de rang impair est une valeur tle S approchée par excès; d'ailleurs Terreur commise est toujours moindre que la valeur absolue du premiei- terme m'gligé, puisque Taddition de ce terme (pris avec sou signe) clîange le sens de Tapproximation.
I sa. Exemple :
V La série harmonique alternée
est convergente; elle remplit en effet toutes les conditions énoncées au n* 136.
2*» La série alternée
est au contraire divergente ; les valeurs absolues de ses termes vont, il est vrai, en décroissant ; mais le ternie général n'a pas zéro pour limite.
Séries dont les termes ont des signes quelconcjues
139. Pour qtiune série soit convergente^ il suffit que les modules de ses termes forment une série convergente.
En effet, désignons respectivement par S„ et S'„ la somme des n premiers termes dans la série proposée et dans la série des modules ; soient en outre P„ et — Q„ la somme des termes positifs et celle des termes négatifs contenue dans S„. On aura
(17) S, =:P„-Q, et S^ = P„ + Q,, (18)
Puisque la série des modules est convergente, S'„ tend vers une limite L, quand n croît indéfiniment; et la relation (18) montre que P,» et Q„, qui sont positifs et ne peuvent varier qu'en croissant lorsque n croît, restent Tun et l'autre inférieurs à L. Donc P„ et Q„ ont des limites déterminées P et Q, par suite, en vertu de la relation (17), S„ a pour limite P — Q, ce qui prouve la convergence de la série proposée.
La condition précédente est suffisante, mais elle n'est pas nécessaire. Par exemple, la série harmonique alternée est convergente (n*» 138, 1°), tandis que la série des modules, qui n'est autre que la série harmonique ordinaire, est divergente (n° 118).
On est ainsi conduit à diviser les séries convergentes en
m.pMi^iJJi. :-^'
deux classes : celles qu'on nomme absolument converfjentes et pour lesquelles la série des modules est cooverg^ento, et celles qu'on morxïme semi-convergentes et pour lesquelles la série des modules est divergente.
140. Le simple rapprochement du numéro qui pr<5cède et du no 123 montre qu'w/ie série est absolument convergente siy à partir cTun certain rang^ les modules de ses termes sont respectivement moindres que les modules des termes rfune autre série absolument convergente.
Il résulte de là que, si une série
Up Wj, ..., Un,
est absolument convergente, il en est de 7nhne de lu série
oti rtj, flo' ""> ^n> ••• désignent des quaîitiiés ayant des signes quelconques mais des modules inférieurs à un nombre positif donné A. En efifet, on a
I ClnUn I < A ! M;, I ,
et, par suite, les modules des termes de la seconde série sont inférieurs aux modules des termes de lu deuxième multipliés par A.
