Si une série
M,, Wj, ... M„, ... (19)
est absohmient convergente, elle reste conn^rg^nte et ronsprve sa somme S, lorsqti'on modifie arbitrairement tordre des termes.
En elFet, par hypothèse, la série des modules
est convergente ; par suite la somme
qui est le reste R„ de la série des modules, tend vers zéro quand n croît indéfiniment, et il en est a fortiori de môme de la somme ^
h/a I + i up I , ... + I .0. I , (22)
formée par un certain nombre de termes de (21).
Cela posé, soit S„' la somme des n premiers termes de la série qui résulte de la proposée (19) par le changement de Tordre des termes. Quelque grand que soit /i, on peut prendre n assez grand pour que SV contienne tous les termes de
La différence SV — S„ ne contiendra donc que des termes
dont Tindice est supérieur à n\ la valeur absolue | SV — S„ j de cette différence est donc moindre que la somme (22); elle tend donc vers zéro quand n^ et par suite n\ croissent indéfiniment. Mais alors S„ tend vers S; donc enfin S'„ a pour limite S.
142. Lorsqu'une série est semi-convergente, on ne saurait changer Tordre des termes sans courir le risque d'altérer la somme de la série ou même de lui faire perdre sa convergence. C'est Dirichlet qui a le premier attiré l'attention sur ces faits, que deux exemples suffiront à mettre en évidence.
Soit la série
1 1 1 i i que Ton sait (n°* 138 et 118) être convergente.
^^""Wlip^p"
Considérons la série
('-î-î)+(|-5-|) + (|-ro-f.)+-.(-i
que l'on déduit de la précédente en faisant suivre d'abord le premier terme positif des deux premiers termes négatifs, puis le second terme positif du troisième et du qualrièmc termes négatifs, et ainsi de suite.
Nous allons montrer que la série (24) est convergente, mais que sa somme est égale à la moitié de la somme S de la série primitive (23).
En effet, en réduisant à un seul terme les deux premiers termes de chaque trinôme entre parenthèses, la série (2i) devient
ou
c'est-à-dire la série primitive (23), dont on a multiplié chaque terme par - •
C'est là un exemple du cas où le changement d'ordre des termes altère la somme sans faire perdre à la série sa convergence.
Pour avoir un exemple du cas où le changement d ordre des termes rend la série divergente, nous considérerons la série semi-convergente (n°' 124 et 136) :
En disposant ses termes de la manière suivante:
0 ■^va'vi) ^ (v5"^v7~;^)"^(v9"''vri~^)'^""
on forme une nouvelle série dont le terme général
V4n — 3 V4n— 1 V^n est plus grand que la quantité positive
4= + 4= — 4= ou A — JL\ 4
et a fortiori plus grand que le terme général - de la série
harmonique ■ la nouvelle série est donc divergente. Addition et multiplication des séries
