Si les deux séries

Mo» «*n •-. W/n ... (25)

Vq, Vi, ..., t?„, ... (26)

sonê convergentes et ont pour sommes respectives u et v ; si de plus Vune d'elles au moins [la première par exemple) est absolument convergente^ la série

Wq, m?o ..., î^«. ..., (^7)

qui a pour terme général

X0„ = ttoV« + W4Î?«-4 + ... + w„t?^, (28)

est convergente et a pour somme le produit uv.

En effet, désignons respectivement par Un, V„, W„ la somme des (n + 1) premiers termes dans chacune des trois séries considérées. La ditîérence

développée et ordonnée suivant les indices de la lettre w, a pour expression

5=tto(w«+< + ... + Va«) +M/.+ 1 (t?o+ ... +^n-i) + ^4 (î?« + 4 + ... + »2/.-4) + «/, + * (t?o + •.. + ^n-2)

+ M«-a(r„ + ^ -hî?« + a) +î"'a«-i (^o + ^i) -4-M„-| . t?„+| + W2«- Co-

nçus avons placé les divers termes sur deux colonnes dont Tune contient les termes en i/^, w^, ..., Uj^i et l'autre les termes en ?/„+,, ..., Uin] le terme en ?/„ a disparu. On a, d'après cela, en considérant les modules

\^<\»o\'\^nU+-+^2n\ +|w„ + J.|Oo+--+^n-J j

Mais, puisque la série (25) est absolument convergente et que la série (2(^) est convergente, on peut assigner deux nombres fixes positifs A et B, tels que Ton ait

D'ailleurs, en vertu du principe général de convergence (n* 120), on peut prendre n assez grand pour qu'on ait, quel que soit jd, les inégalités

\u,^, |4-|„^.^| + ... +|tt«,p| <e, (33)

|î?/. + 4+V/,^a + ... + Va4.p|<6, (34)

€ étant une quantité positive aussi petite qu'on voudra. On aura donc, en vertu de (34) et de (32),

IM < EJluo 14- ... + !"«-. I j + Bii«„H I + ... + l«a«l et a fortioH^ à cause de (31) et de (33),

I 8 I < At + Be ou (A +B) c;

d'où Ton voit, puisque A+ B est fixe, que | 3 | peut devenir moindre que toute quantité donnée. En d'autres termes, l'expression

tend vers zéro, quand n croit indéfiniment, et l'on verrait, par un raisonnement analogue, qu'il en est de même de l'expression

Donc enfin, puisque U„ et U„ + i ont pour limite « et que Vn et Vn + i ont pour limite v, W^,» et Wj,» ^i tendent l'un et l'autre vers uv^ lorsque n croît indéfiniment.

Ce théorème est dû à Gauchy ; mais cet illustre géomètre supposait que les deux séries (25) et (26) étaient absolument convergentes ; c'est M. Mertens qui a montré qu'il suffisait que Tune de ces deux séries fût absolument convergente, Tautre pouvant être simplement convergente.

LES SÉRIES NUMÉRIQUES i5&

Remarque

146. La théorie de la convergence des séries fournit uq moyen souvent commode pour démontrer qu'une expression ç (/?) a pour limite zéro, lorsque le nombre entier et positif n croît indéfiniment.

Il suffit, en effet, d'après le n**119, de prouver par un moyen quelconque la convergence de la série dont le terme général est 9 (n).

Voici deux exemples utiles :

1** L'expression

où a: a une valeur déterminée et où n désigne un en lier positif, a pour limite zéro lorsque n croît indéfiniment. En effet, la série dont l'expression (35) est le terme général est

convergente, vu que le rapport - d'un terme quelconque

au précédent tend, pour n =ioo, vers zéro, c'est-à-dire vers une quantité moindre que 1 en valeur absolue . 2"* Considérons l'expression

dans laquelle ]), désigne un nombre fixe quelconque, n un entier positif, et x une quantité donnée moindre en valeur absolue que l'unité. Cette expression a pour limite zt^ro, quand n croît indéfiniment. En effet, la série dont l'expression (36) est le terme général est convergente, vu que h*

rapport x d'un terme au précédent tend, pour n = a>,

vers — X, c'est-à-dire a une limite moindre en valeur absolue que l'unité.

Formule de Taylor

147. C'est en 1717, dans Touvrage intitulé Melhodus incremeiitonim, que Taylor a fait connaître la formule célèbre

sans se préoccuper d^ailleurs des conditions propres à rendre son emploi légitime.

Un siècle devait s'écouler avant qu'il fût question d'évaluer la différence

R = r{x) - r {a) --f^r («) ... -ii^.7(t-V''""-''^ ^*^

entre f{x) et la somme des n premiers termes de la série de Taylor, c'est-à-dire de la série qui constitue le second membre de la relation (1).

Nous allons faire connaître les principales formes que ce reste R est susceptible de recevoir.

Soient a et x deux nombres donnés quelconques et /(s) une fonction astreinte à rester continue ainsi que ses n — 1 premières dérivées lorsque la variable z est renfermée dans l'intervalle (û, x) ; la dérivée suivante /'' (z) peut devenir discontinue dans cet intervalle : il suffit qu'elle soit déterminée.

FORMULES DE TAYLOR ET DE MACLAURliN 1j7

Posons

/> étant Tun quelconque des nombres 1,2 w. Larecherrlie

du nombre R est ainsi ramenée à celle du nombre P, If^tjtnH, en vertu des égalités (2) et (3), se trouve alors défini piir la relation

Aaj)-/(fl)-^r(«)— — ^^EîJïr ^"'"^""^ = P{x- a)': (i) Gela posé, considérons la fonction

dont la dérivée, suppression faite des termes qui se détruisent deux à deux, se réduit à Texpression très simple

La fonction îp(j:) s'annule, en vertu de (4), pour % ■= tt\ elle s'annule aussi évidemment pour z^=x. Donc, d^iprètii le théorème de Rolle, sa dérivée <p'(:;) s'annule pour uni' valeur de z comprise entre a et x et que Ton peut, par cons^iquent, représenter par a + 0(a: — a), ô désignant \\n nombre inconnu, mais convenablement choisi entre o vX \ . Cette condition s'exprime, en vertu de (6), par laformulo

^ = -{x-aY'P ^|;i.^y /'[^+ 0 {x-d)\ +Pp.

d'où Ton déduit en résolvant par rapport à P et portant dans (3)

148. Cette expression, du reste, qui renferme un nombre p arhitraîrement choisi dans la suite 1, 2, ..., w, n'est pas très usuelle. On lui préfère, dans la pratique, tantôt Tune, tantôt Tautre des deux suivantes :

que Ton déduit de (7) en particularisant le nombre p.

La première (8) est due à Lagrange ; on l'obtient en prenant

tandis que la seconde (9), due à Cauchy, résulte de Thypoihèse

H est presque superflu d'observer que la quantité inconnue désignée par 6 n'a pas la même valeur dans les formules (7), (8), (9), toutefois elle est toujours comprise entre 0 et 1 (*).