En résolvant l'équation (2) par rapport *àf[x), on a

/•(ar) = /(a)+^r(«) + .-.+^|^Er^V'-"(a) + R-(iO)

Cette formule, dans laquelle R représente l'une des expressions (8) et (9) est une généralisation du théorème des accroissements finis.

Il résulte de la formule (10) que V emploi de la formule (1)

('} La formule (7) est la plus récente ; elle a été trouvée en 1858 par Edouard Roche à Taide du Calcul intégral. On nous permettra de rappeler que nous avons donné dès la même époque la démonstration simple qui précède el f|ui est applicable aux diverses formes du reste. Voir le Cours d'analyse de M. Ilermite ; le Traité de calcul différentiel et intégral de M. Bertrand ; le Cours d'analyse de Sturm revu par M. de Saint-Germain; V Algèbre de Briot; etc.

n'est légitime que si le reste R tend vers zéro lorsque n croît indéfiniment,

150. Souvent on pose x ;= a + A ; la formule (10) prend alors la forme fort usitée

/•(a + A) = A«)+ f (/•'«) + ..- + ^;j^^r"'-"(a) + R (11). et dans laquelle R désigne l'une des" expressions

R=^''(n yrV--"^(a + 6A), (12)

Formule de Madaurin

151. Pour a = 0, la formule (10' devient /-(a:)=/-(o)+f/'(o) + ... + (;^^/^''-^Uo) + R, (13) R devant y être remplacé par Tune des deux expressions

R=/x«)(6a;) (Lagrange), (14)

R=^-^(ÏTriïr^/""(M (Cauchy), (15)

Si R tend vers zéro lorsque n croit indéfiniment, on tombe sur la formule

,qui porte le nom de formule de Maclaurin et qui donne le développement de f[x) en série convergente et ordonnée suivant les puissances entières et positives de x.

Nous allons chercher, par cette méthode, les développements des fonctions élémentaires ^, sinar, cosx, log (1 + j*).

Développement de e^

1512. Les dérivées successives de e^ sont égales à ^; elles prennent donc toute la valeur 1 pour a: = o, et par suite la formule de Maclaurin, complétée par le reste de Lagrange (15), devient ici

'^-^+f + ri + --- + 1.2.!7n'-l) + î£-n^-' (*«)

X ayant une valeur déterminée quelconque. Le premier facteur

du reste tend vers zéro (n° 146) quand n croît indéfiniment ; le second facteur e^' est fini, puisqu'il est compris entre 1 et e'. Donc le reste R est nul pour n = oo , et Ton a pour le développement de e' en série convergente